Teorema rango-nulidad: conservación dimensional

Comprender el rango cambia la forma de leer una matriz: te muestra cuánta información realmente contiene. Aquí verás por qué los pivotes importan, cómo el espacio columna captura la esencia de una transformación Ax y cómo el teorema rango-nulidad conserva la dimensionalidad original sin perder nada en el camino.

¿Qué es el rango y cómo se calcula?

El rango es el número de pivotes que aparecen tras aplicar eliminación gaussiana. Computacionalmente, cuentas los pivotes al inicio de las filas no nulas. Geométricamente, es la dimensión del espacio columna, es decir, el tamaño del universo de resultados posibles de la transformación Ax.

• Si una matriz 3×3 convierte el espacio tridimensional en un plano, su rango es 2.
• Si lo aplasta en una línea, el rango es 1.
• Si no aplasta nada, el rango es 3.

La idea clave: el rango mide cuántas dimensiones “sobreviven” tras la transformación.

¿Por qué el espacio columna mide la información?

Porque el espacio columna contiene todas las salidas posibles Ax. Su dimensión indica cuántas direcciones independientes puede generar la matriz. Más dimensión implica más direcciones independientes, menor redundancia y una representación más rica de los datos.

¿Qué revela el ejemplo con columnas dependientes?

Se analiza la matriz A con columnas que cumplen: la tercera es la suma de las dos primeras. Tras la eliminación gaussiana, la tercera fila se convierte en ceros y aparecen solo dos pivotes: rango 2. Interpretación geométrica: la transformación genera un plano dentro de un espacio tridimensional; una dimensión se anuló. Esta dependencia lineal muestra que la tercera columna no aporta una nueva dirección.

¿Cómo se relacionan rango y nulidad?

Las dimensiones que no sobreviven se aplastan al origen y forman el espacio nulo. La dimensión de ese espacio es la nulidad. El teorema rango-nulidad establece: rango(A) + nulidad(A) = número de columnas de A. Es una auténtica ley de conservación de la dimensionalidad: ninguna dimensión se pierde, o se transforma o se anula.

• Ejemplo directo: con 3 columnas y rango 2, la nulidad es 1. Significa que una línea completa de vectores se mapea al origen.
• Competencias clave: identificar pivotes, reconocer dependencia lineal y conectar el cálculo con la interpretación geométrica.

¿Qué significa dependencia lineal en filas y columnas?

• Si una fila se convierte en ceros, era combinación lineal de las anteriores.
• En columnas, un rango 2 implica solo dos columnas linealmente independientes: las demás son combinaciones de esas dos.
• Consecuencia: el espacio columna tiene dimensión 2 y la matriz no añade más direcciones independientes.

¿Dónde aplica en datos y sistemas AX=B?

En machine learning, el rango expone redundancia. Si tienes 100 características y el rango es 50, entonces 50 son redundantes porque pueden expresarse como combinaciones de las otras 50. Esto sugiere reducir la dimensionalidad sin perder información esencial.

Además, en un sistema AX = B, el rango informa sobre existencia y unicidad de soluciones:

¿Cómo interpretar rango en machine learning?

• Rango menor que el número de columnas: hay redundancia en los datos.
• Reducción de dimensionalidad posible: eliminación de características redundantes.
• Beneficios prácticos: modelos más simples y eficientes.

¿Qué dice el rango sobre soluciones de AX=B?

• Rango menor que el número de incógnitas: infinitas soluciones o ninguna.
• Rango igual al número de incógnitas: solución única si es compatible.
• La eliminación gaussiana revela compatibilidad y estructura de soluciones.

Y la visualización lo confirma: una columna redundante es la suma de otras dos, por eso la transformación genera un plano; en contraste, una base estándar en 3D muestra vectores linealmente independientes que aportan direcciones nuevas.

¿Te animas a ponerlo en práctica? Si tienes una matriz 4×5 con rango 3, usa el teorema rango-nulidad para obtener su nulidad y comparte tu resultado en los comentarios.