Límites de funciones cuando x tiende al infinito

¿Alguna vez te preguntaste qué ocurre cuando mandas una función al infinito? Matemáticamente, hablar del infinito nos lleva directamente a conceptos interesantes, como los límites y sus compañeras inseparables, las asíntotas.

¿Qué sucede realmente cuando x crece muchísimo?

Al observar la función f(x) = 1/x, puedes darte cuenta que al aumentar el valor de x, el resultado de la función, es decir, "y", se vuelve cada vez más pequeño. Por ejemplo:

• Cuando x es 1, y es 1.
• Si x es 10, y ahora se convierte en 0.1.
• Al elevar x a 100, obtendrás 0.01.

Este comportamiento muestra cómo y se acerca cada vez más al cero, aunque nunca lo llega a tocar. Esta línea imaginaria a la que nunca llega la función, pero a la que infinitamente se acerca, es llamada asíntota.

¿Qué es exactamente una asíntota?

Una asíntota es una línea imaginaria (normalmente representada gráficamente) a la que una función se acerca indefinidamente, pero jamás alcanza o cruza. En el caso de nuestra función, la asíntota es el eje horizontal que representa y = 0.

¿Cómo funciona la ley del más fuerte en los límites al infinito?

En límites de funciones al infinito, utilizamos el método llamado "ley del más fuerte", que consiste en tener en cuenta sólo el mayor exponente (más fuerte) y eliminar todo lo demás (más débil). Veamos ejemplos rápidos:

• Si la potencia más alta arriba es igual a la de abajo (x²/x²), el resultado será una relación sencilla entre sus coeficientes: en este caso, un medio.
• Cuando la potencia más alta arriba es mayor (x³/x²), quedan unidades constantes arriba y ninguna abajo, entonces el resultado tiende a infinito.
• Si la potencia más alta abajo es mayor (x²/x⁴), el resultado final será cero.

Esta práctica analogía con croquetas para gatos ayuda a visualizarlo claramente:

• 5 kilos entre ningún gato: infinitas croquetas.
• 0 kilos entre cualquier número de gatos: ninguna croqueta por gato.

¿Entiendes ahora mejor cómo actuar con límites cuando x va hacia el infinito? Matemáticas y física utilizan estos conceptos para analizar situaciones en teoría antes de experimentarlas, brindándote herramientas útiles para estudios futuros.