Fundamentos de Probabilidad para Ciencia de Datos

Curso de Matemáticas para Data Science: Probabilidad

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Incertidumbre y probabilidad

Fundamentos de probabilidad

Distribuciones de probabilidad

MLE (Maximum Likelihood Estimation)

Inferencia bayesiana

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¿Por qué es importante la probabilidad en ciencia de datos y machine learning?

La ciencia de datos y el machine learning se desarrollan en un mundo lleno de incertidumbres. Aquí es donde la probabilidad se convierte en una herramienta crucial. Nos permite cuantificar incertidumbres y tomar decisiones basadas en datos incompletos. Este concepto es esencial porque no siempre tenemos completo control o conocimiento sobre los posibles resultados de un sistema. Por ejemplo, al lanzar un dado, no podemos predecir su resultado con certeza al 100%. La probabilidad nos ayuda a manejar estas situaciones.

¿Qué es la probabilidad?

Para entender qué es la probabilidad, necesitamos reconocer que se emplea en situaciones de incertidumbre, como los juegos de azar. Henri Poincaré, un renombrado matemático, afirmó que el azar es simplemente una medida de nuestra ignorancia. Esto significa que lo que percibimos como azar se debe a nuestra falta de información. Por lo tanto, la probabilidad puede entenderse como un conjunto de herramientas matemáticas diseñadas para cuantificar esta incertidumbre, permitiéndonos así tomar decisiones más informadas.

¿Cuáles son los axiomas de la probabilidad?

Los axiomas de probabilidad son fundamentales para establecer un marco lógico que permita cuantificar la incertidumbre. Estos axiomas son:

Axioma de no negatividad: La probabilidad de cualquier suceso es un número no negativo.
Axioma de certeza: La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1.
Axioma de aditividad: Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno o el otro es la suma de las probabilidades individuales. Por ejemplo, si lanzamos un dado, la probabilidad de obtener un 2 o un 4 es ( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ).

Estos axiomas se asumen como verdades establecidas, sin necesidad de demostración, y son la base sobre la cual se construyen las reglas de probabilidad.

Sucesos y espacio muestral

En probabilidad, un suceso elemental es la ocurrencia de un solo resultado posible, como obtener un número 4 al lanzar un dado. El espacio muestral, por otro lado, es el conjunto de todos los sucesos elementales posibles, como las seis caras de un dado que pueden caer.

¿Cómo se diferencian las escuelas de probabilidad frecuentista y bayesiana?

Existen dos enfoques principales para interpretar la probabilidad:

Escuela frecuentista: Define la probabilidad como la frecuencia con la que ocurre un suceso en un número infinito de ensayos. Por ejemplo, si lanzamos una moneda millones de veces, la proporción de caras tenderá a 0.5.
Escuela bayesiana: Considera la probabilidad como un grado de creencia sobre la ocurrencia de un suceso, basada en el conocimiento previo. En este enfoque, la probabilidad puede actualizarse a medida que se obtiene nueva información.

Haciendo un experimento sencillo con una moneda, puedes observar cómo las probabilidades pueden variar en un número finito de lanzamientos, proporcionando una comprensión más intuitiva de estas diferencias.

¿Cuáles son las implicaciones prácticas de la probabilidad en data science?

La comprensión de la probabilidad es fundamental para muchos algoritmos de machine learning y análisis estadístico. Al mejorar nuestras habilidades en probabilidad, podemos modelar y predecir de manera más eficaz eventos futuros frente a la incertidumbre. Además, nos ayuda a realizar inferencias más inteligentes y a mejorar mediante la optimización continua de los modelos a medida que se recopilan nuevos datos.

Esto es sólo el comienzo. La probabilidad es un campo vasto que forma la columna vertebral de cómo hacemos inferencias en condiciones inciertas. Ya sea ajustando un modelo de aprendizaje automático o interpretando resultados, la probabilidad es esencial. Con este conocimiento, estás mejor preparado para enfrentar el mundo incierto con más confianza.

RESUMEN: ¿Qué es probabilidad?

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La probabilidad es una creencia que tenemos sobre la ocurrencia de eventos elementales.

¿En qué casos usamos la probabilidad?

Intuitivamente, hacemos estimaciones de la probabilidad de que algo ocurra o no, al desconocimiento que tenemos sobre la información relevante de un evento lo llamamos incertidumbre.

El azar en estos términos no existe, representa la ausencia del conocimiento de todas las variables que componen un sistema.

En otras palabras, la probabilidad es un lenguaje que nos permite cuantificar la incertidumbre

AXIOMAS: Es un conjunto de sentencias que no son derivables de algo más fundamental. Las damos por verdad y no requieren demostración.

"A veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellas surge toda la teoría"
Axiomas

AXIOMAS DE PROBABILIDAD :

La probabilidad está dada por el número de casos de éxito sobre la cantidad total(teórica) de casos.

P = #-Casos de éxito/ # Casos-totales.
Suceso elemental: Es una única ocurrencia, "Solo tienes una cara de la moneda como resultado"
Sucesos: Son las posibilidades que tenemos en el sistema. Está compuesto de sucesos elementales, por ejemplo, "El resultado de lanzar un dado es par", hay tres sucesos (2,4,6) que componen este enunciado.

De la interpretación del axioma anterior divergen dos escuelas de pensamiento. Frecuentista y Bayesiana
Ejemplo: "Solo tengo dos posibles resultados al lanzar una moneda, 50% de probabilidad para cada cara , (1/2 y 1/2), si lanzo la moneda n veces, la moneda no cae la mitad de las veces en una cara, y luego la otra"

Esta equiprobabilidad de ocurrencia en un espacio muestral ocurre bajo el supuesto de que la proporción de exitos/totales tiende a un valor p. En otras palabras, solo lanzando la moneda infinitas veces podemos advertir que el valor de la probabilidad es cercano a (1/2 o 50%).

Escuela frecuentista

"Toda variable aleatoria viene descrita por el espaci muestral que contiene todos los posibles sucesos de ese problema aleatorio."

La probabilidad que se asigna como un valor a cada posible suceso tiene varias propiedades por cumplirse

PROPIEDADES AXIOMAS:

0 <= P <= 1
Certeza: P = 1
Imposibilidad P = 0
Disyunción P(AuB) = P(A) +P(B)