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Teorema de Bayes

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o inicia sesi贸n.

Cassie Kozyrkov, Head of Decision intelligence en Google. Nos explica el pensamiento Bayesiano y Frecuentista con una moneda.
https://www.youtube.com/watch?v=GEFxFVESQXc

Este video me ayud贸 a entender un poco m谩s los conceptos
https://www.youtube.com/watch?v=CP4ToX5Tyvw

Buenas tardes a todos. Quisiera compartir con ustedes un video de Veritasium sobre el Teorema de Bayes. En este video explican un experimento muy parecido al de esta clase.

https://www.youtube.com/watch?v=D7KKlC0LOyw

Teorema de Bayes
Este teorema permite actualizar nuestras probabilidades a medida que acumulamos evidencia.
Dicta que la probabilidad a posteriori es igual a la verosimilitud por la probabilidad a priori sobre la probabilidad de la evidencia, matem谩ticamente:
P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)

Este video es excelente para conocer un poco m谩s de Bayes Theorem: https://www.youtube.com/watch?v=R13BD8qKeTg

Que mal que haya que recomendar tanto video durante el curso para entender conceptos, algo pasa.

![](

Es importante tambien tener claro el tema de los tipos de errores, matriz de confusi贸n y demas m茅tricas breve intro

Aqu铆 hay una manera de resolver el teorema por medio de un diagrama de 谩rbol que puede funcionar para entender el concepto

Soy s贸lo yo o alguien m谩s se di贸 cuenta de que lado de la Fuerza est谩 Francisco ? 馃槂

Les recomiendo este video para que profundicen un poco sobre este teorema. Esta muy bien explicado

  • peque帽o truco: 鈥渟ensibilidad de鈥︹

Teorema de Bayes mostrado por 3Blue1Brown, de lo mejor que hay junto con el de Veritasium

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes refleja una filosofia de interpretacion muy diferente sobre las probabilidades que obtenemos de sucesos aleatorios.

Esta compuesta de 4 elementos:

  • Probabilidades a Priori: probabilidad que refleja la creencia inicial que se tiene de sucesos o creencias de una variable aleatoria. Tal creencia inicial no refleja necesariamente la realidad
  • Evidencia: probabilidad obtenida de la evidencia dada por los experimentos de la vida real. Modifica las probabilidades iniciales.
  • Verosimilitud: probabilidad de las evidencias condicionadas por las probabilidades iniciales de las creencias sobre los eventos de una variable aleatoria. Probabilidad de obtener esa evidencia dada una creencia inicial
  • Probabilidad Posteriori: probabilidad de observar un evento A dada la evidencia B

El Teorema de Bayes permite actualizar o modificar la creencia inicial sobre las probabilidades de un evento aleatorio. Esto corrige el problema de la Escuela Frecuentista en el que las probabilidades no coinciden con las probabilidades teoricas

Este teorema permite actualizar nuestras probabilidades a medida que acumulamos evidencia. Dicta que la probabilidad a posteriori es igual a la verosimilitud por la probabilidad a priori sobre la probabilidad de la evidencia,

interpretacion del teorema

si se dan cuenta ya ten铆as una probabilidad de que tuvieras c谩ncer antes de hacerte un examen, al hacerte el examen solo actualizaste esa probabilidad. De esto trata el aplicar el teorema de bayes, osea actualizar tus probabilidades de que suceda un evento en el moemnto que tengas informacion nueva sobre el evento

Mediante averiguar un poco de historia ya el concepto del Teorema de Bayes sale s贸lo:
"El teorema de Bayes debe su nombre al Reverendo Thomas Bayes (1701鈥1761), quien fue el primero en mostrar c贸mo emplear nuevas certezas para trastrocar creencias"
A m铆 me ayud贸 a afianzar el concepto 鈥 espero les sirva tambi茅n.

  • Basado en un video que vi, el cual recomiendo que lo vean para que entiendan el apunte como tal, este explica la forma visual del teorema de bayes aqui dejo el video

  • Y me base en un ejemplo que vi en los apuntes que tambien recomiendo mucho sobre probabilidad de una estudiante de platzi, aqui dejo el link

Test Medico: Mamograf铆a (sensibilidad del %80)

Hipotesis: De que la persona tenga c谩ncer (y)
Evidencia: Examen salga positivo (x)

- p( y = 1 ) = 0.004	
- p( y = 0 ) = 0.996				
- p( x = 1 | y = 1) = 0.8		
- p( x = 1| y = 0 ) = 0.1

les recomiendo que vean la pagina https://matemovil.com/
explican a detalle estad铆stica para los que necesiten reforzar.

La mejor expliaci贸n grafica de bayes :
https://www.youtube.com/watch?v=Fi6G48j0IZ4

que super ejemplo de la clase, me encanto el contraste

Para los que quieran profundizar en el Teorema de Bayes: https://youtu.be/nY7NeaA0lFc?si=0SvAIqJ2oHGgwqIQ

Investigando encontr茅 que el 39.5% de las personas recibir谩n un diagnostico positivo de cancer en alg煤n momento de sus vidas, por lo que sustituyendo el valor que se hab铆a puesto de 0.004 por 0.395, el resultado calculado fue que el 83.9% de los casos que dan positivo a una prueba, realizada con un aparato con las caracter铆sticas que propone el ejercicio, ser谩n realmente pacientes con cancer.

Mis apuntes tienen m谩s enlaces recomendados en Youtube que contenido de la clase ._. jeje

Este video da una explicaci贸n intuitiva del teorema de bayes:

Excelente explicaci贸n de la f贸rmula

jajajajajajaj

De ah铆 podemos inferir que la dichosa m谩quina desinforma de m谩s que lo que informa sobre el estado del paciente.

Excelente explicaci贸n, ya ten铆a tiempo que no ve铆a el teorema de Bayes, me sirvi贸 para desempolvar.

Este video es muy bueno y ademas trae una relfexion鈥
https://www.youtube.com/watch?v=D7KKlC0LOyw

El Teorema de Bayes

  • Es un principio estad铆stico que describe c贸mo la probabilidad de un evento cambia a medida que se recolecta m谩s informaci贸n. Es una herramienta fundamental en la inferencia estad铆stica, ya que permite calcular la probabilidad de un evento dado otro evento. El teorema se formula matem谩ticamente como:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
Donde P(A|B)
  • Es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ocurre el evento B, P(B|A) es la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A, P(A) es la probabilidad de que ocurra el evento A y P(B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

  • El teorema de Bayes se utiliza en una variedad de campos, incluyendo la medicina, la inteligencia artificial, el aprendizaje autom谩tico, la inferencia estad铆stica y la ciencia de datos. Por ejemplo, se utiliza para calcular la probabilidad de un diagn贸stico dado un conjunto de s铆ntomas, o la probabilidad de que un correo electr贸nico sea spam dado su contenido.

  • Es importante mencionar que el teorema de Bayes se basa en la suposici贸n de independencia de los eventos, es decir, que el hecho de que un evento ocurra no afecta la probabilidad de que otro evento ocurra. En algunos casos esta suposici贸n no se cumple y se deben tomar medidas adicionales para manejar esta dependencia.

Ejemplo donde se utiliza el T. de Bayes

Suponga una mujer de 40 a帽os que tiene que hacer un test medico conocido como Mamografia. El tecnico indica que el dispositivo de deteccion del cancer tiene una sensitividad del 80%. En terminos probabilisticos quiere decir que: sabiendo que el paciente tiene cancer, cual es la probabilidad de que dispositivo de positivo

 P(x=1, y=1) = 80% = 0.8 
donde 
y --> indica si tiene o no tiene cancer. y = 1:cancer, y = 0 no cancer
x --> examen de mamografia positivo o negativo. x = 1 positivo, x = 0 negativo

La sensitividad es un parametro que se obtiene a partir de resultados que ya estaban verificados, es decir, para verificar la eficiencia del aparato toman un conjunto de pacientes que ya tienen cancer y usan el aparato para ver que tan efectivo es al detectar el cancer (de esa muestra el aparato solo fue capaza detectar el 80%)

Tendemos a pensar que el 80% es la probabilidad de tener cancer lo cual es una falacia: se ignora el conocimiento previo de la creencia inicial de lo que realmente es tener cancer. La probabilidad de tener cancer, dejando de lado condiciones previas (los dispositivos deteccion) es distinta.

Siguiendo con el ejercicio, la probabilidad prior (creencia inicial) de que un paciente tenga cancer viene dado por:

P(y=1) = 0.004

Los falsos positivos son las probabilidades de que el aparato haya arrojado resultados erroneos (Probabilidad de que el conjunto de paciente no tengan cancer y den positivo por el aparato). Viene dada por:

P(x=1 | y=0) = 0.1

Nos falta calcular la evidencia la cual es una Probabilidad Marginal y se obtiene de la sumatoria de las probabilidades conjuntas de x sobre todos los posibles valores de y:

P(x) = Sumatoria(P(x,y)) sobre todas las y

Y ademas sabemos que la probabilidad conjunta es igual al producto de obtener x dado el conocimiento previo de 鈥榶鈥 por la probabilidad de que suceda 鈥榶鈥

P(x) = Sumatoria(P(x|y)P(y)) sobre todas las y

Esto se representa en nuestro caso como la probabilidad de que el examen de positivo P(x=1) es la suma de la probabilidad de que el examen de positivo sabiendo o no que el paciente tenga cancer P(x=1 | y) por la probabilidad de que el paciente tenga o no cancer P(y)

P(x=1) = Sumatoria(P(x = 1 | y)P(y)) sobre todas las y

Como la variable 鈥榶鈥 tiene dos estados posibles entonces

P(x=1) = P(x=1 | y=1)P(y=1) + P(x=1 | y=0)P(x=0) 
			 = 0.8 * 0.004 + 0.1 * 0.996
			 = 0.1028 

En lo que estamos interesados en la probabilidad posterior: qu茅 tan probable es que dado el conocimiento de que el examen salio positivo el paciente tenga cancer. La probabilidad posterior se calcula como sigue:

 P(y=1|x=1) = P(x=1 | y=1)P(y=1) / P(x=1)
						= 0.8 * 0.004 / 0.1028
						= 0.031 = 3.1%

Lo que quiere decir que si el examen da positivo con el dispositivo, la probabilidad de que tenga cancer es de 3,1%

Aparato de medici贸n
Entonces quiere decir que si me hago un examen y me da que tengo c谩ncer tengo el 80% que tenga c谩ncer P(y=1|x=1)=0,8?
No , el aparato no me dice esto, solo dice que si uno de verdad tiene c谩ncer el aparato tiene un 80% de haber calculado bien P(x=1|y=1)=0,8.

Cual es la probabilidad de que yo observe los elementos A, dada la evidencia B es igual a la probabilidad a posteriori

Quizas conozcan a este muchacho, tiene un video que nos puede ayudar a complementar nuestro entendimiento del teorema de Bayes:
https://www.youtube.com/watch?v=GoSbdo-lIIA

les recomiendo este video para entenderlo desde una perspectiva mas geom茅trica e intuitiva 馃槈

https://www.youtube.com/watch?v=HZGCoVF3YvM

Les dejo un excelente video en espa帽ol donde explican muy bien el teorema de Bayes.
video

Considero que este apartado el profesor hizo parecer el Teorema de Bayes un poco m谩s complicado de lo que es, y creo que es debido a la extracci贸n de los datos. Aun as铆, es bastante gratificante repasar todo esto que aprend铆 en la universidad, pero ech茅 de menos el diagrama para representar el teorema de Bayes.

Video explicativo del teorema de Bayes https://www.youtube.com/watch?v=D7KKlC0LOyw

Les dejo mis apuntes

He tomado dos cursos de estadistica (universidad y colegio) y nunca me explicaron que los frecuentistas y bayesianos son paradigmas distintos. Excelente explicacion

El calculo de la evidencia es 0.1028 (0.0996 + 0.0032)

el teorema de bayes mediante la acumulaci贸n de evidencia, permite actualizar las probabilidades.

La probabilidad que se ve que se escribe P(B | A) se le llama likelihood que se traduce como verosimilitud , y esto es la probabilidad de observar tambien un evento llamado B sabiendo que tambien ha sucedido otro evento llamado A.

A mi parece que ambas teor铆as se complementan entre si.

https://www.youtube.com/watch?v=xfz7Gfbd2Bg para reforzar el teorema de Bayes

Buenas noches.

Para afianzar m谩s el concepto de la clase y dem谩s temas de machine learning, recomiendo el libro de Pattern Recognition and Machine Learning de Christopher M. Bishop. Pueden verlo en este enlace.

Saludos cordiales.

En este video se entiende muy f谩cil el Teorema de Bayes,
Es largo pero en los primeros minutos ya lo ha explicado todo, el resto son ejemplos