Cómo calcular el intervalo de confianza al 95%

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Cómo calcular el intervalo de confianza al 95%

Curso de Estadística Descriptiva

Clase 26 de 27

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El intervalo de confianza es la herramienta estadística que te permite afirmar, con un nivel de seguridad determinado, dentro de qué rango se encuentra la media real de una población a partir de una muestra. Aquí aprendes a construir uno al 95% usando un caso real de baterías, ideal si trabajas con datos, calidad o investigación cuantitativa.

La idea es sencilla: tomas una muestra, calculas su promedio y, en lugar de quedarte con un solo número, defines un rango donde es muy probable que esté la verdadera media de toda la población.

¿Qué es un intervalo de confianza y por qué importa?

Un intervalo de confianza te da dos límites, uno inferior y uno superior, entre los que se encuentra el valor real de tu población con cierta probabilidad. En el ejemplo que trabajamos [02:00], somos ingenieros de calidad en una empresa de baterías y queremos saber cuánto duran realmente, no solo en la muestra, sino en toda la producción.

Los datos de partida son:

Desviación estándar poblacional conocida: 50 días.
Tamaño de la muestra: N = 100 baterías.
Media muestral: 520 días.
Nivel de confianza: 95%.

¿Qué representa la desviación estándar aquí? Que la vida de las baterías varía, en promedio, 50 días por encima o por debajo de la media. Esa es la primera desviación estándar; a 100 días ya hablamos de dos desviaciones.

¿Cómo se calcula el margen de error en un intervalo de confianza?

El margen de error es la pieza central. Se calcula multiplicando la Z crítica (también llamada Z alfa medios) por el error estándar de la media. Esa fórmula nace porque trabajamos con una muestra y no con la población completa, así que necesitamos ajustar la dispersión.

El error estándar se obtiene dividiendo la desviación estándar entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra [07:30]:

Desviación estándar: 50.
Raíz de N: raíz de 100 = 10.
Error estándar: 50 / 10 = 5.

¿Por qué la Z no se busca con 0.95 directamente?

Aquí está el detalle que confunde a la mayoría. El 95% queda centralizado en la campana de Gauss, así que sobra un 5% repartido en las dos colas: 2.5% del lado izquierdo y 2.5% del lado derecho [05:00].

Para encontrar la Z correcta no buscas 0.95 en la tabla, sino 0.95 más ese 2.5% que falta para llegar al centro desde la cola izquierda. Es decir, 0.975.

¿Cómo encuentro la Z para un intervalo de confianza del 95%? Busca el valor 0.975 en la distribución normal inversa. El resultado es 1.96. Esa es la Z crítica que vas a multiplicar por el error estándar.

En Google Sheets puedes usar la función de distribución normal estándar inversa, ingresar 0.975 y obtener directamente el 1.96 sin recurrir a tablas físicas.

¿Cómo construyes los límites inferior y superior?

Con la Z crítica y el error estándar resueltos, calculas el margen de error y lo aplicas a la media muestral.

Margen de error: 1.96 × 5 = 9.80 días.
Límite inferior: 520 − 9.80 = 510.20 días.
Límite superior: 520 + 9.80 = 529.80 días.

Redondeando a días completos, el intervalo va de 510 a 530 días. Eso significa que, con un 95% de confianza, la duración promedio real de todas las baterías de la población se encuentra dentro de ese rango.

¿Qué quiere decir tener un 95% de confianza? Que si repitieras el muestreo muchas veces, en el 95% de los casos el intervalo calculado contendría la verdadera media poblacional. No es la probabilidad de una batería individual, es la del método.

Un truco práctico al armar la fórmula en hojas de cálculo

Cuando arrastras una fórmula en Sheets o Excel, las celdas se mueven y puedes terminar restando o sumando datos equivocados, justo como pasó al calcular el límite superior la primera vez [13:30]. La solución es anclar las referencias usando el signo de dólar antes de la letra y el número de la celda. Así, al arrastrar, los valores fijos no cambian y solo se ajusta lo que sí debe variar.

Este pequeño hábito te ahorra errores silenciosos que pueden invalidar todo un análisis. ¿Te ha pasado descubrir un error así al final del cálculo? Cuéntalo en los comentarios.

Paola Alapizco

Hace un año•editado

Mis apuntes de la clase 📝

📌 El intervalo de confianza es un par de valores numéricos que encierran un determinado porcentaje de la población, ese porcentaje que encierra el intervalo se le conoce como nivel de confianza.

Ejemplo: Entre que valores se encuentra el 95% del promedio real de la vida util de las baterías.

💡 Definición formal: Par o pares de valores de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido respecto a un parámetro poblacional con un determinado nivel de confianza. - Fuente: Wikipedia

El intervalo de confianza posee las siguientes características:

Los valores del intervalo son simétricos a la media.
Los valores conforman un rango que va de un valor inferior (izquierda de la media) y un valor superior (derecha de la media).
Por fuera del intervalo se encuentra el nivel de significancia.

¿Qué es el nivel de significancia?

Es todo aquello que queda por fuera del intervalo de confianza.
Se le denomina alpha 𝛼.

Distribución del nivel de significancia

Lo que queda por fuera del intervalo de confianza se denota como 𝛼/2 tanto a la izquierda como a la derecha.
Lo que quede a la derecha del intervalo es por que se han pasado del valor superior del intervalo.
Lo que quede a la izquierda del intervalo es por que se a quedado corto del valor inferior del intervalo.

Formula para calcular el intervalo de confianza:

Donde

IC = Intervalo de Confianza, se conforma de un limite inferior y limite superior.
x̄ = Media de la muestra.
ME = Margen de Error

Z 𝛼/2 = Valor de Z hasta el nivel de significancia a la derecha de la media.
𝜎x̄ = 𝜎/√n Error estándar, 𝜎 es la desviación estándar de la población, y n es el número total de la muestra.

EJEMPLO

Siguiendo el ejemplo de la clase:

📌 Sabemos por datos históricos que la desviación estándar (𝜎) de la vida de las baterías es de 50 días.

Tomamos una muestra de 100 baterías y obtenemos que la vida promedio de esa muestra es de 520 días.

Construir un intervalo de confianza del 95% para la verdadera duración promedio (media poblacional) de todas las baterías de la población.

Datos conocidos para calcular el intervalo

Desviación estándar (𝜎) = 50 días
Media de la muestra (x̄ ) = 250 días
Número de muestras (n) = 100 baterías
Nivel de confianza = 95%

Puntos clave

Nivel de significancia (𝛼) es la diferencia del 100% menos el 95% del nivel de confianza
Por lo tanto nuestro 𝛼 = 100% - 95% = 5%
Nuestro 𝛼/2 = 5/2 = 2.5%
- 2.5% (izquerda)
- 2.5% (derecha)

📢 Cuando estamos buscando los intervalos de confianza, conocemos los porcentajes (lo que calculamos en clases pasadas, clase 23 y clase 24), ahora lo que necesitamos es lo contrario, en otras palabras, los valores de z.

💡Por lo tanto a partir de un determinado porcentaje se quiere investigar el valor de Z correspondiente.

Una vez identificamos los valores necesarios para hacer los cálculos, y comprendemos que lo que buscamos es el valor de Z a partir de un porcentaje, podemos proceder a realizar los cálculos para el IC.

Procedimiento

Calculamos el valor de Z𝛼/2 ✍🏼 NOTA: Z𝛼/ 2 es el límite superior que cubre al nivel de confianza, pero también abarca lo que esta a la izquierda del nivel de confianza, por lo tanto:

Buscamos el valor de Z en la tabla pero ahora a partir del porcentaje 0.975, o bien si lo hacemos con herramientas como Google Sheets podemos implementar la formula =DISTR.NORM.ESTAND.INV(porcentaje). Valor de Z𝛼 / 2 = 1.96