Comprobación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

Clase 13 de 29 • Curso de Fundamentos de Álgebra Lineal con Python

Resumen

En esta clase aprenderemos cómo plantear un sistema de ecuaciones de forma matricial y realizar el proceso para comprobar su solución. Al final nos preguntaremos si existe una operación o elemento para realizar la **división **entre matrices para obtener la solución de un sistema de ecuaciones.

johan Stever Rodriguez Molina

student•

tengan cuidado. lo que el profesor puso al final de x =b/? es un error tremendo a pesar de que lo hace solo con fines educativos. Realmente la división de vectores o matrices "NO EXISTE".

Danilo Toro

student•

la división no existe, se usa solo para fines educativos

Juan Ventrone

student•

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal queA/B = AB**(-1):

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Daniel Reyes Barrera

student•

ACLARACION: Al final de la clase el profesor hace un despeje dudoso ya que se esta trabajando con matrices, como tenemos Ax = b = (Matriz 2x2)(Matriz 2x1) = (Matriz 2x1). Lo correcto para despejar la matriz (o vector) x seria multiplicar por la izquierda la inversa de A y por tanto nos quedaria como: x = A_inv * b

import numpy as np
A = np.array([[-3,1],[-2,1]])
b = np.array([5,3])
A_inv = np.linalg.inv(A)

El valor de x es

x =  A_inv.dot(b)
print(x)

output

array([-2., -1.])

Lo cual coincide analíticamente con nuestros resultados.

Cesar Arturo Castanon Acuna

student•

Aqui un complemento: .

Diaz Mauricio

student•

Gracias

María José Medina

student•

Equivalencia entre sistemas de ecuaciones y multiplicación de matrices

Josue Noha Valdivia

student•

Sistema de Ecuaciones lineales: Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales a través de una operación matricial. La ventaja de este método es que es mucho más ordenado y transferible a la computadora. La representación matricial AX=B es equivalente a un sistema de ecuaciones puesto que el producto interno también se puede ver como combinaciones lineales.

Nota: Representación gráfica de rectas a través de matplotlib (plt)

x = xp.arange(0,5,1) #genera un intervalo de datos con (inicio, fin, pasos)
y = 3*x + 2 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas x
plt.figure() #genera el grafico
plt,plot(x,y) #genera el grafico con las coordenadas indicadas (se puede generar mas de una)
plt.xlim(0,5) #limites del eje x
plt.ylim(-5,-5,) #limites del eje y
plt.axvline(x=0, color = 'grey') #eje vertical
plt.axhline(y=0, color = 'grey') #eje horizontal

Sebastian Ovalle Ovalle

student•

Tenía un par de errores, y lo puse para que grafieque facilmente.

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5,5,1) #genera un intervalo de datos con (inicio, fin, pasos)
y = 3*x + 5 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas x
z = 2*x + 3 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas y
plt.figure() #genera el grafico
plt.plot(x,y) #genera el grafico con las coordenadas indicadas (se puede generar mas de una)
plt.plot(x,z)
plt.xlim(-5,5) #limites del eje x
plt.ylim(-5,5) #limites del eje y
plt.axvline(x=0, color = 'grey') #eje vertical
plt.axhline(y=0, color = 'grey') #eje horizontal

Carlos Daniel Pimentel Díaz

student•

Si alguien quiere resolver el sistema de ecuaciones con NumPy, aquí está el código:

A = np.matrix([[-3, 1], [-2,1]])
b = np.matrix([[5],[3]])
x = (A**-1)*b
print(x)

jean pierre gabriel nieto acosta

student•

este curso ha estado bastante interesante, le deberian poner en el titulo numpy porque si se aprende bastante de np y sus funciones

Paola Alapizco

student•

Hola compañeros! 👋, a continuación les dejo mis apuntes sobre la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, la base es justamente el ejercicio que se ve en la clase.

Representación matricial

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en un formato matricial, esto nos ayuda a resolver este sistema de forma "programática" utilizando herramientas especializadas como numpy, así podremos obtener los valores de x y y sin hacerlo a lápiz y papel.

Si deseamos representar las ecuaciones del ejemplo en un formato matricial, debemos dejar a las variables en el mismo lado de la igualdad.

Entonces las ecuaciones quedarían así:

Para representar un sistema de ecuaciones lineales en matrices necesitamos 3 crear matrices a partir de las ecuaciones que ya tenemos:

Matriz de coeficientes (A): Esta conformada por los coeficientes que acompañan a las variables.

Matriz de variables(X): Esta conformada por las variables del sistema de ecuaciones.

Matriz de constantes(B): Esta conformada por los valores constantes de las ecuaciones.

El sistema de ecuaciones lineales anterior al representarlo en un formato matricial nos quedaría la siguiente expresión: AX = B o bien:

Ya que sabemos como se ve la representación matricial de nuestro sistema de ecuaciones, podemos resolverlo utilizando numpy.

Antes de continuar debemos tener en cuenta, que ya conocemos los valores que conforman las matrices A (coeficientes) y B (constantes), pero nos falta conocer que valores conforman a la matriz de variables X, eso es justamente lo que hace el código de abajo:

A = np.array([[-3,1], [-2,1]]) # Matriz de coeficientes
B = np.array([5,3]) # Matriz de constantes

X = np.linalg.solve(A, B)
print("La solución al sistema de ecuaciones lineales:")
print(f"x = {round(X[0])}", f"y = {round(X[1])}", sep="\n")
```El resultado que obtenemos es: `x = -2` y `y = -1`


Donde los valores `x = -2` y `y = -1` representan la coordenada `(-2,-1)` donde las gráficas de las ecuaciones se interceptan.


Para comprobarlo pasemos a su respectiva visualización:

```python
plt.plot(x,y_1)
plt.plot(x, y_2)

plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)

 # Intersección entre las ecuaciones
plt.vlines(
  x=X[0],
  ymin=X[1],
  ymax=0,
  linestyle="dashed",
  color="black"
)
plt.hlines(
  y=X[1],
  xmin=0,
  xmax=X[0],
  linestyle="dashed",
  color="black"
)
plt.plot(-2, -1, "ro")

plt.axvline(x=0, color="grey")
plt.axhline(y=0, color="grey")
plt.show()

Espero este aporte les sea de utilidad, #NuncaParenDeAprender

Made with 💜 by Paho!

Rodrigo Garza

student•

Otra opción para resolver sistemas de ecuaciones con matrices es con el uso de determinantes les dejo un ejemplo por si a alguien le interesa:

Julian Castro Pulgarin

student•

Esa es la regla de Cramer :D

Juan R. Vergara M.

student•

Wao que gran clase, nunca había visto esta forma de comprobación.

Angel Armando Martínez Blanco

student•

Hacer las operaciones con matrices ofrece una gran ventaja para resolverlas de forma computacional. De hecho, es una de sus principales aplicaciones. Al tener todo expresado como matrices, el sistema de ecuaciones se convierte en una simple ecuación que se resuelve con un despeje. Debido a que no existe tal cosa como "división de matrices" lo que se hace es obtener la matriz inversa.

import numpy as np
import numpy.linalg as lin	#librería para obtener la inversa
import matplotlib.pyplot as plt
A = np.array([ [-3, 1], [-2, 1] ])
C = np.array([ [5], [3] ])
B = lin.inv(A) @ C
print(B)

Como resultado de este despeje, es la matriz B que es la que contiene las incógnitas.

[[-2.]
 [-1.]]

Wilson Montenegro

student•

Por si a alguien le interesa, hasta aca todo se puede hacer con Deepnote en lugar de Jupyter.

Lizandro José Ramírez Difo

student•

Otra forma de resolver ecuaciones usando la librería numpy:

3*x + y = 1
1x + 2y = 0

	import numpy as np

	ig = np.array([1,0])
	coe = np.array([[3,1],[1,2]])

	solv = np.linalg.solve(coe, ig)

	x = solv[0]
	y = solv[1]

	{'x':x,'y':y}

Adrian Matute

student•

no entiendo por que en casi todos los cursos que usan jupyter colocan matplotlib inline si de todas formas sin colocarlo te muestra la figura que estas formando abajo

Fernando Campos

student•

Hola 👋🏼 Me parece que es por cuestión de buenas prácticas, y creo que en versiones anteriores, efectivamente, no lo mostraba si no lo ponías

Jose Potes

student•

Hola, si te pareció frustrante esta clase como a mi.(mas que todo al ver los comentarios de personas que ya estan en este ambito). no te preocupes. solo trata de entender lo que el profesor esta haciendo con los conocimientos que ya tienes. si no entiendes nada sobre despeje de ecuaciones lineales. dale, ve al curso de fundamentos matematicos en platzi.(https://platzi.com/cursos/fundamentos-matematicas/) ahora, lo que hizo el profesor es lo siguiente.

identificó el problema y lo graficó en python(algo que ya tu conoces).
comprobó la informacion con despejando Y.
implementó el 2 punto en el concepto de matrices.

Dale, que puedes, es complejo al inicio por la familiarizacion de terminos y procesos. pero, dale, sigue.

Wilson Fernando Antury Torres

student•

El hecho que las dos funciones tengan un punto donde se crucen hacen verdadera la solución de las dos ecuaciones al mismo tiempo.

Victor

student•

gracias, no entendia esto.

DAVID AGUDELO VALENCIA

student•

%matplotlib inline 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5,5)

y_1 = 3*x + 5 
y_2 = 2*x + 3

plt.figure()

plt.plot(x, y_1)
plt.plot(x, y_2)

plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)

plt.axvline(x=0, color='grey')
plt.axhline(y=0, color='grey')

A = np.array([[-3, 1],[-2, 1]])
print(A)

b = np.array([[5],[3]])
print(b)

sol_1 = np.array([-2, -1])
print(sol_1)

print(A.dot(sol_1))

César Daniel Carrasco Gutiérrez

student•

En la variable sol_1 ¿la matriz no debió haber sido?

np.array([[-2],[-1]])

Lo pregunto por que si lo escribo de esa forma al hacer la comparación:

print(A.dot(sol_1) == B)

[[ True]
 [ True]]

Y de la otra forma no me da True si no me da:

sol_2 = np.array([-2, -1])

print(A.dot(sol_2) == B)

[[ True False]
 [False  True]]

Yonatan Efraín Jara Boza

student•

Como lo planteas hubiese compatibilizado los resultados del profesor, la idea simplemente es mantener una nomenclatura comun ya sea cambies sol_1 (como hiciste) o cambies B a vector.

Maximiliano Cuesta

student•

Hola gente, como podriamos aplicar esto a un ejemplo concreto de data science? Pregunto desde el desconocimiento, ya que nos explican conceptos matematicos avanzados y no sabria en donde aplicarlos!

Javier Armando Choque Sansuste

student•

¿Alguien sabe como cuadricular nuestro eje de coordenada?

Patricia Carolina Perez Felibert

student•

importando matplotlib.pyplot as plt puedes usar la funcion plt.grid() , la cual crea una cuadrícula

William Wilfredo Moran Torres

student•

porque la sol_1 no es igual np.array([[5],[3]]) y es np.array([5,3])???

Mauricio Rojas Nova

student•

Debe ser así ya que la solución es un vector. Si fuese np.array([[5],[3]]) sería una matriz de 2 filas y 0 columnas.

Yonatan Efraín Jara Boza

student•

Porque definió a 'b' como una matriz ([[5],[3]]) y no como vector ([5,3]). Para este caso es interpretado como lo mismo pues un vector puede operar con matrices como si fuese una matriz vertical u horizontal adaptativamente (se puede probar en numpy).