Combinaciones Lineales y Espacios Vectoriales en R2 y R3
Contenido del curso
Bryan Jesús López González
![Francisco Garcia [C6]](https://static.platzi.com/media/avatars/avatars/garciafran_c845c2fe-2ea4-42db-a305-a7f4ef13b0fd.jpeg)
Francisco Garcia [C6]
Maria Guadalupe Diaz Escobar
rusbel bermúdez rivera
Rafael Rivera
Leandro Tenjo
Luis Angel José Portillo Arévalo
Francisco Garcia [C6]
Diego Jurado
Pedro Alejandro Rodríguez García
Juan Alonso Alcala
Alberto Perdomo
Milton Fabián Ospina León
Wilson Montenegro
Juan R. Vergara M.
Josue Noha Valdivia
María José Medina
johan Stever Rodriguez Molina
Ariadna B
Daniel Correa
Juan Diego Bonifacio Briceño
Daniel Correa
Ramón de Jesús Ortega Gumán
Kevin Morales
Alfonso Andres Zapata Guzman
LUIS ANTONIO CALVO QUISPE
Alfonso Andres Zapata Guzman
Guillermo Sangabriel Cuéllar
Carolina Acosta Muñoz
alexander garcia castañeda
Sebastian Sosa
Profesor
Daiana Davidson
William Wilfredo Moran Torres
John Cardenas
Luis Lira
Jose Potes
Angel Ojeda
Camilo Gutierrez
Thomas Gonzalez Rodrigues
La razón por la que los vectores (-1,-1) y (1,1) no pueden generar a R2 (teniendo en cuenta que la generación del espacio se obtiene con la variación de los escalares como lo hemos venido haciendo) es porque estos dos vectores no son linealmente independientes entre sí, en términos más sencillos véase que estos vectores son multiplos entre ellos, basta con multiplicar por el escalar -1 a cualquiera de los dos para obtener el otro.
Estos vectores por tanto van a pertenecer al mismo espacio, en particular, generan un subespacio de R2 que sería: todos los vectores pertenecientes a R2 tal que la segunda coordenada sea igual a la primera, y = x. Para poder generar el espacio R2 (o en general Rn), se necesitan tomar n vectores que sean linealmente independientes entre ellos, que ninguno sea combinación lineal de los otros.
Es por ello que en el segundo ejemplo cuando toma (1, 0) y (2, -3), esto genera todo el espacio R2, pues son dos vectores que son linealmente independientes, es decir, no existe un escalar tal que multiplicando a uno me permita obtener al otro.
Gracias
Gracias
Espacio euclidiano o Espacio vectorial es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así:
**R1 **= espacio unidimensional, línea recta real.
**R2 **= espacio bidimensional, pares ordenados.
**R3 **= espacio tridimensional, terna ordenadas.
-Hiperplano: una dimension menos el espacio donde estamos trabajando
**Si trabajamos en R3 un hiperplano es R2, si trabajamos en R2 un hiperplano es la recta. **
Gracias por el aporte
Entendí más de este comentario que del profesor. Gracias.
Les recomiendo a todos los que quieran entender lo que habla el profe, vean los videos de Algebra Lineal de Khan Academy https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/vectors/v/real-coordinate-spaces?modal=1
Excelente, gracias
Gracias por compartir. Definitivamente siento que debo seguir complementando para poder avanzar con estos temas!
Wow, voy en el minuto 6 y la verdad no entiendo casi nada de su explicación :(
Si tienes preguntas ponlo en los comentarios y si no sabes que preguntar sugiero que tomes un libro de álgebra lineal y te leas los dos primeros capítulos . No es difícil una vez le encuentras el chiste . Suerte !!!
Introducción al algebra líneal de Gilbert Strand, es un gran libro
Para colab...
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits import mplot3d v1 = np.array([1,0,0]) v2 = np.array([2,-3,0]) fig = plt.figure() ax = plt.axes(projection='3d') for a in range (-10,10): for b in range (-10,10): ax.scatter(v1[0]*a+ v2[0]*b, v1[1]*a+ v2[1]*b, v1[2]*a+ v2[2]*b, marker='.', color="orange")
Muchas gracias, también funciona en Deepnote
Gracias 👍🏅
Vectores linealmente independientes: Un vector es linealmente dependiente de otros cuando este no se puede generar a través de una combinación lineal de los otros. El máximo número de vectores linealmente independientes entre sí es la dimensión de estos vectores. Generación de una recta, un plano o un espacio. La recta y el plano se pueden conoces cono espacios de 2 y 3 dimensiones respectivamente. Para definir un espacio de n dimensiones necesitamos n vectores linealmente independientes. Así para definir una recta necesitamos un vector, para un plano necesitamos dos y para un espacio (de tres dimensiones) necesitamos 3 vectores. Nota Un hiperplano es un espacio una dimensión menor al espacio en el que estamos trabajando (el hiperplano de una recta es un puntos, el hiperplano de un plano es una recta, etc)
Ese cierre de la clase muy knockeador jaja. Lo siento muchachos por los que no lo lograron entender. Les recomiendo lean en otros sitios sobre la teoría de espacios y subespacios vectoriales.Recomiendo el libro de Bernard Kolman-Algebra Lineal.
Hermoso. Aunque el tema de subespacio vectoriales es más divertido y matemático. Aqui lo pusieron muy interactivo y la explicación superficial. Aunque también creo que lo quisieron hacer accesible a todas las personas, y dejaron de lado la formalidad. :/ Pero bueno. Es divertido verlo graficado
A que se refiere el profesor cuando habla de r1 y r2?
Cuando habla de R gometricamente lo puedes interpretar como la recta real R <---------------------------------------------------------> Cuando habla de R^2=RxR geometricamente lo puedes interpretar como el plano cartesiano(RxR=R^2) , de igual manera R^3=RxRxR Espero haber despejado tu duda sino pon en google r2, r3,r4 y ahi encontraras un montón de información
Muchas gracias, tu comentario me ayudo mucho a entender
me dan ganas de retomar mis libros de algebra lineal
Hazlo 💪 de todas formas irás recordando poco a poco durante el curso
Si quieren crear en **R3 ** algo tridimencional, con otro bucle for (aunque esto es super ineficiente) se logra:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D v1 = np.array([1, 0, 0]) v2 = np.array([2, -3, 0]) v3 = np.array([1, 5, 6]) fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') for a in range(-10,10): for b in range(-10,10): for c in range(-10,10): ax.scatter(v1[0]*a + v2[0]*b + v3[0]*c, v1[1]*a + v2[1]*b + v3[1]*c, v1[2]*a + v2[2]*b + v3[2]*c, marker = '.', color = "orange") ax.set_xlabel('Eje X') ax.set_ylabel('Eje Y') ax.set_zlabel('Eje Z') plt.show()
Muchas gracias, por tu aporte ..!
4Por cierto, ya conectamos en LinkedIn?5
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Siempre que quieran generar todo un espacio, pueden estar seguro que con los vectores canonicos lo logran, para que no lanzen vectores al azar :)
Gracias, Guillermo! No recordaba qué eran vectores canónicos. Por si alguien queda con la duda, acá están:
en qué momento se usó el axes3d? en ninguna parte vi que lo invocaran
Tienes razón, en ningún momento se invoca explicitamente el Axes3D, pero se lo está utilizando para la proyección 3D
Como referencia dejo el link a la galeria de Matplotlib con un grafico de dispersion en 3D donde se invoca el Axes3D para registrar la proyección a utilizar.
Para quienes están teniendo dificultades para seguir el curso, pueden imaginar que los datos con los que trabajamos son como puntos en un espacio. Estos datos no existen de manera aislada, sino que se organizan en estructuras matemáticas como vectores, matrices y escalares.
En el mundo de la computación y el análisis de datos, todo debe ser representado numéricamente para que los modelos puedan procesarlo de manera eficiente. Por ejemplo, una palabra como "Platzi" puede ser convertida en un número para ser utilizada dentro de un modelo.
En esta parte del curso, nos enfocamos en cómo graficar e interpretar datos usando álgebra lineal. A través de combinaciones de vectores, podemos generar imágenes matemáticas que representan la totalidad de los datos. Luego, al aislar subconjuntos de esos datos, podemos visualizar su comportamiento en forma de gráficos.
En este momento, estamos aprendiendo cómo definir el espacio donde los datos se mueven y se organizan. Este paso es fundamental porque, más adelante, estos espacios nos permitirán hacer predicciones y modelar el comportamiento de los datos de manera efectiva.
por cierto que significa ese % %matplotlib %run Es algo especial en python?
Hola!
Es el operador módulo. Su función es devolver el sobrante de la división entre dos operadores. No está relacionado con porcentajes.
Te dejo un enlace donde podrás conocer los diferentes operadores de pyhton
Se les llama "funciones mágicas", son de iPython, puedes leer la explicación aquí
Nada complejo, creo que el profesor usa mucho tecnicismo en sus explicaciones. pero, https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/vectors/v/real-coordinate-spaces?modal=1 (Perdon platzi pero al cesar lo que es del cesar). lo que entendí es:
En álgebra lineal, un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen ciertas propiedades específicas. Un espacio vectorial debe satisfacer las siguientes condiciones:
Cerrado bajo la adición: La suma de dos vectores en el espacio vectorial también debe estar en el mismo espacio vectorial.
Cerrado bajo la multiplicación por un escalar: Si multiplicamos un vector por un escalar, el resultado también debe estar en el mismo espacio vectorial.
Existencia de un vector cero: El espacio vectorial debe contener un vector especial llamado vector cero, que no cambie otros vectores cuando se suma a ellos.
Inverso aditivo: Cada vector en el espacio debe tener un vector opuesto que, al sumarse, dé como resultado el vector cero.
Esta clase me voló la cabeza.
Para los que están perdidos espero que esto sea de ayuda:
Un vector es un conjunto de números, por ejemplo (x1, x2). Esos números pueden ser cualquier valor de los números Reales (por eso R).
R1 (o R) es un numero cualquiera de los reales (x). R2 son dos números (x1,x2). R3 son tres números (x1,x2,x3).
Estos valores pueden ser multiplicados por un numero externo o ser sumados con otro vector. Esto se llama combinación lineal.
Un plano vectorial son todos los números (puntos en el plano) que salen de combinar linealmente los elementos de los vectores.
Un espacio vectorial es lo mismo, pero con tres números en vez de dos. (X1, X2, X3).
Por lo tanto, un plano o espacio vectorial son todos los números que pueden resultar de la combinación lineal de los elementos de los vectores.
Un saludo!
para visualizar un poco mejor lo que se esta haciendo en la clase y el porque del primer ejemplo les dejo estas funciones
y aquí el código comparar representation vectorial y combinación lineal
def analyse_combination(v1,v2,lim1,lim2): fig, ax = plt.subplots() for a in range(-10,10): for b in range(-10,10): v1v2 = v1*a + v2*b ax.scatter(v1v2[0],v1v2[1], marker='.') plt.xlim(lim1*-1,lim1) plt.ylim(lim1*-1,lim1) plt.axvline(x=0, color='grey') plt.axhline(y=0, color='grey') plot_vectors([v1,v2],["orange", "blue"]) plt.xlim(lim2*-1,lim2) plt.ylim(lim2*-1,lim2) plt.axvline(x=0, color='grey') plt.axhline(y=0, color='grey') plt.show()
generar el grafico de los vectores
def plot_vectors(vectors, colors, alpha = 1): #alplah = trasparence of each vector fig, ax = plt.subplots() ax.axvline(x=0, color="grey") ax.axhline (y=0, color="grey") for i in range(len(vectors)): x = np.concatenate([[0,0], vectors[i]]) #set origin point #add 0,0 as the vector were a tenson ax.quiver( [x[0]], [x[1]], [x[2]], [x[3]], angles ='xy' , scale_units= 'xy', scale = 1, color = colors[i], alpha = alpha ) return ax
