Propiedades del Producto Interno en Álgebra Lineal
Contenido del curso
Hector F
Kenny Emmanuel Lajara Aquino
Martí Falcón Padró
Elias Dudamel
Anuar Manuel Monterrosa Bedoya
Julián Cárdenas
Carlos Daniel Pimentel Díaz
Juan Sáez García
David Barrientos
Angel Estrada
Josue Noha Valdivia
Ana Guzmán
Sara Yaneth Contreras Elías
Cesar Arturo Castanon Acuna
Alfonso Andres Zapata Guzman
María Fernanda Aguilar Alfonso
Roberth Mafla
Carlos José Contreras Gómez
Antonio Demarco Bonino
Bernardo Zapata Ruiz
Osvaldo Olguín
Roberth Mafla
Federico Mario
Mateo Echavarria
Carlos Daniel Pimentel Díaz
Lizandro José Ramírez Difo
Miguel Risco
DIEGO ALEXANDER ARISTIZABAL ARISTIZA
Gabriel Escribá
Luis Angel José Portillo Arévalo
Kenny Emmanuel Lajara Aquino
Sergio Rubiano
Bernardo Zapata Ruiz
Maria Alejandra Diaz Rojas
Juan Acevedo
Mario Alexander Vargas Celis
Nota. El producto interno de matrices es:
Spolier alert!
El producto interno de **++matrices ++**es:
Asociativa: Sí Ax(BxC) = (AxB) x C Distributiva: Sí Ax(B+C) = (AxB) x (AxC) Conmutativa: NO BxC = CxB
El producto interno de **++vectores ++**es:
Asociativa: Sí Ax(BxC) = (AxB) x C Distributiva: Sí Ax(B+C) = (AxB) x (AxC) Conmutativa: Sí BxC = CxB
Dejo la matrices para que copien y peguen.
A = np.array([[2,3],[5,7],[11,13]]) B = np.array([[1,3],[2,1]]) C = np.array([[3,1],[4,2]])
gracias buen hombre
Gracias, yo siempre las cojo del repositorio de la clase, me abre un visual studio code y de ahí las anexo
La ley conmutativa solo aplica en la multiplicación de matrices cuando éstas son matrices cuadradas y al mismo tiempo son matrices diagonales. Aquí puedes encontrar la definición de matriz cuadrada y diagonal. Dejo el código para que lo comprueben.
A = np.array([[7, 0, 0, 0], [0, 5, 0, 0], [0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 20]]) B = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 8, 0, 0], [0, 0, 13, 0], [0, 0, 0, 4]]) print(A.dot(B) == B.dot(A))
Esto da como respuesta:
array([[ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True]])
para entender mejor los conceptos de algebra lineal recomiendo este video! https://youtu.be/XkY2DOUCWMU
Nunca había entendido la transformación de matrices con tanta claridad
Simplemente bello!
Propiedades de multiplicación de matrices
Nota: El producto interno de dos vectores sí es conmutativo: AxB = BxA
Acá el reto:
++EJERCICIO++
Lo hice parecido al tuyo. . Te recomiendo descargar Night Eye en Google Chrome para ver Jupyter oscuro. :D .
Migren a jupyter lab mejor.
¿Hay alguna clase dentro del gran catálogo de Platzi que te enseñe la demostración de las propiedades? Aún me cuesta mucho trabajo entenderlas y hacerlas.
De lo que he revisado no, pero a mi criterio es mejor consultarlo en un libro, la verdad es un proceso que se lo entiende haciendo los cálculos a mano. Saludos
Hay un curso de algebra lineal, no se si ahi vengan. Yo lo aprendi en en la escuela con el libro de Grossma de algebra lineal
Otro reto que fue una delicia:
# Reto Mat_01 = np.array([[2,3],[8,9],[6,7]]) Mat_02 = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8]]) print(Mat_01.shape) print(Mat_02.shape) (3, 2) (2, 4) Mat_03 = Mat_01.dot(Mat_02) print(Mat_03) [[ 17 22 27 32] [ 53 70 87 104] [ 41 54 67 80]] Mat_04 = Mat_02.dot(Mat_01) print(Mat_04) --------------------------------------------------------------------------- ValueError Traceback (most recent call last) ~\AppData\Local\Temp\ipykernel_12180\947606744.py in <module> ----> 1 Mat_04 = Mat_02.dot(Mat_01) 2 print(Mat_04) ValueError: shapes (2,4) and (3,2) not aligned: 4 (dim 1) != 3 (dim 0)
Para el ejercicio propuesto, Sean las matrices:
a de dimensión n x m (n filas y m columnas) b de dimensión m x q (m filas y q columnas)
el producto interno a@b es válido ya que se cumple que el número de columnas de la primera sea igual al de las filas de la segunda. Sin embargo b@a no es valido ya que no cumple la condición dada para el caso a@b. Esto es general para matrices a y b que cumplan las condiciones expuestas donde n y q diferente de m.
Al definir vectores dentro de 2 corchetes
y=np.array([[3],[5]])
Se genera un vector columna, es decir, es una matriz de una sola columna.
A diferencia de si se deja dentro de sólo un par de corchetes
x=np.array([2,3])
Queda un vector "normal". Por lo que veo, estos vectores normales no se pueden trasponer, o el resultado al trasponerlo es el mismo vector, o me equivoco?
Correcto, matemáticamente es lo mismo, pero python tiene que identificarlos como una matriz para aplicar el método correctamente
Es correcto. Para que python pueda trasponer el vector, este debe expresarse ya sea como fila o columna pero con dos dimensiones, es decir:
# Se puede trasponer: np.array([[2, 3]]) # vector fila np.array([[2], [3]]) # vector columna # NO se puede trasponer: np.array([2, 3])
Que dimensiones tienen que tener los 3 conjuntos para que cumpla todas las propiedades? Escritos de forma universal A(a1,a1) B(b1,b2) C(c1,c2) Una es que a1,a2,b1,b2,c1 y c2 sean los mismos numeros
Hola Mateo. La ley conmutativa solo aplica en la multiplicación de matrices cuando éstas son matrices cuadradas y al mismo tiempo son matrices diagonales. Aquí puedes encontrar la definición de matriz cuadrada y diagonal. Te dejo el código para que lo compruebes.
A = np.array([[7, 0, 0, 0], [0, 5, 0, 0], [0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 20]]) B = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 8, 0, 0], [0, 0, 13, 0], [0, 0, 0, 4]]) A.dot(B) == B.dot(A)
Esto da como respuesta:
array([[ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True]])
Puedes usar el operador @ en vez de la funcion .dot():
A.dot(B) es igual A @ B
Según lo que el profesor nos ha explicado, en la línea 13 el v1 y v2 son matrices de 2filasx1columna.
La multiplicación de matrices puede ser conmutativa en caso de que las matrices sean cuadradas, pequeña acotación
Tampoco:
TEST_A = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) TEST_B = np.array([[10,11,12],[13,14,15],[16,17,18]]) TEST_A.dot(TEST_B) array([[ 84, 90, 96], [201, 216, 231], [318, 342, 366]]) TEST_B.dot(TEST_A) array([[138, 171, 204], [174, 216, 258], [210, 261, 312]])
Y en caso de que por cuadradas te refieras a cuadráticas y no a las dimensiones, tampoco:
TEST_A = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) TEST_B = np.array([[10,11,12],[13,14,15],[16,17,18]]) TEST_A2 = TEST_A ** 2 TEST_B2 = TEST_B ** 2 TEST_A2.dot(TEST_B2) array([[ 3080, 3506, 3960], [15041, 17240, 19593], [36452, 41882, 47700]], dtype=int32) TEST_B2.dot(TEST_A2) array([[ 9092, 12641, 16920], [14330, 19976, 26802], [20756, 28985, 38952]], dtype=int32)
import numpy as np A = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) B = np.array([[2,3],[1,2],[4,5]]) AB =A.dot(B) BA = B.dot(A)```
porque debes trasponer el primer vector! no el segundo:
v1_v2 = v1.T@v2 v2_v1 = v2.T@v1
Claro, aquí tienes un resumen claro y útil de las propiedades del producto interno en álgebra lineal:
🔷 Propiedades del Producto Interno
Sea u⃗,v⃗,w⃗∈Rn\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n y α∈R\alpha \in \mathbb{R}, el producto interno (también llamado producto punto) se denota:
⟨u⃗,v⃗⟩=∑i=1nuivi\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i
✅ 1. Conmutatividad
⟨u⃗,v⃗⟩=⟨v⃗,u⃗⟩\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle
✅ 2. Bilinealidad (Linealidad en cada componente)
⟨αu⃗,v⃗⟩=α⟨u⃗,v⃗⟩\langle \alpha \vec{u}, \vec{v} \rangle = \alpha \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle ⟨u⃗+w⃗,v⃗⟩=⟨u⃗,v⃗⟩+⟨w⃗,v⃗⟩\langle \vec{u} + \vec{w}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle + \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle
✅ 3. Positividad
⟨v⃗,v⃗⟩≥0\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \geq 0
✅ 4. Definida Positiva
⟨v⃗,v⃗⟩=0⟺v⃗=0⃗\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0 \iff \vec{v} = \vec{0}
✅ 5. Relación con la Norma
La norma (longitud) de un vector es:
∥v⃗∥=⟨v⃗,v⃗⟩\| \vec{v} \| = \sqrt{ \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle }
✅ 6. Ortogonalidad
Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si:
⟨u⃗,v⃗⟩=0\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0
✅ 7. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
∣⟨u⃗,v⃗⟩∣≤∥u⃗∥⋅∥v⃗∥|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|
✅ 8. Proyección Ortogonal
La proyección de u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es:
projv⃗u⃗=⟨u⃗,v⃗⟩⟨v⃗,v⃗⟩v⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle }{ \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle } \vec{v}
