Matrices Ortogonales y Ortogonormalidad en Python
Contenido del curso
johan Stever Rodriguez Molina
Christian Sanclemente
Andrés Felipe Rubiano Moreno
Josue Farley Lopez Carvajal
Juan R. Vergara M.
Josue Noha Valdivia
Andres Felipe Leal Mora
Matias Gabriel Pierri
Edwin Arteaga
Rodrigo Martinez
Rodrigo Garza
Julián Cárdenas
Wilson Fernando Antury Torres
Aaron Fabrizio Calderon Guillermo
Daniel Humberto Chavez Garcia
Faustino Correa Muñoz
Daniel Humberto Chavez Garcia
Hector F
Ricardo Quintana Soler
David Ramirez Rodriguez
Enrique Villamizar
Luis Angel José Portillo Arévalo
Mario Emiliano Gordon Pico
William Wilfredo Moran Torres
William Wilfredo Moran Torres
María Angélica
Hector F
Ricardo Fernández
Mario Emiliano Gordon Pico
Christian Mahonry Colorado Bulbarela
Pedro Alejandro Montaño Herrera
Mario Alexander Vargas Celis
Lucas Fux
El profesor nunca menciona por que elige la matriz con seno y coseno. Resulta que esa matriz, se llama una “matriz de rotación”. La cual me permite rotar un vector 90 grados. Es por esta razón que es una matriz ortogonal.
Gracias por el dato.
Para ser más exactos la "matriz de rotación" funciona con cualquier angulo no solo con 90 grados.
Aqui les va un pequeño truco para hacer las aproximaciones a cero.
Se trata de definir un valor muy pequeño (épsilon) contra el que se comparan los elementos de la matriz y si son menores que él entonces ajustarlos a cero:
eps= 1e-17 A[np.abs(A) < eps] = 0
Gracias 🥇👍
Matriz Ortogonal Es la matriz cuyos vectores filas son ortonormales mutuamente (lo mismo con los vectores columnas) Cumplen con la siguiente identidad: A_tA = AA_t = I A_t = inv(A)
Nota: Cuidado con los errores que podemos propagar al operar con las aproximaciones que hace python
Una matriz es ortogonal cuando todas sus filas son mutuamente ortonormales y todas sus columnas son mutuamente ortonormales. Así mismo, una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.
Para los que estan haciendo el curso ahora(16/8/2020) no les va a dar el resultado de print(1/A_t.dot(A)) y
A_t = A.T print(A_t.dot(A)) print(A.dot(A_t))``` como al profe ya que a traves del tiempo los lenguajes tienen actualizaciones y ahora el resultado de esos calculos es 0 e infinito ya que se entiende que el profesor no obtiene esos resultados por limitaciones de la computadora
De acuerdo al teorema no es necesario probar tanto que las filas y las columnas son ortonormales entre si, solo con las columnas basta
excelente aporte! cual es el texto del que sale ese teorema?
Por si alguien al igual que yo, tiene la duda del uso de las "rebanadas" en python con matrices:
import numpy as np matriz = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) print(matriz[0,:]) #imprime la primera fila de la matriz print(matriz[1,:]) #imprime la segunda fila de la matriz print(matriz[:,0]) #imprime la primera columna de la matriz print(matriz[:,1]) #imprime la segunda columna de la matriz
Gracias, igual lo entendía, pero un resumen siempre ayuda a todos!
¿?
Resultado diferente en Colab. ¿Por qué será que el resultado es diferente en Colab? Probé subiendo el mismo archivo de los recursos en Jupyter y en Colab y el resultado es diferente. ¿Alguien tendrá alguna idea? !
La imagen no se subió, aún presentas ese problema?
Hola, no se pudo subir la imagen anteriormente, pero este es el resultado que me aparece en Colab. En Jupyter si sale como a él en el vídeo (minuto 10:08).
¿Tiene numpy alguna función para saber si una matriz es ortogonal?
No sé si exista, no la he visto, pero verificarla es fácil así no haya una función. Una forma es verificar si tiene inversa, calcularla y compararla con la transpuesta. En este caso con una resta y con el valor de la norma. Si el valor de la norma es cero, entonces la transpuesta es igual a la inversa y cumpliría con la definición de ortogonal. Hay que agregarle un valor de error aceptable porque los cálculos no son perfectos. El código sería algo así:
Var=np.linalg.norm(np.linalg.inv(Matrix)-Matrix.transpose()) e=0.00001 #valor aceptable if Var<e: print('Es ortogonal') else: print('No es ortogonal')
Que opinan del codigo que cree para verificar si una matriz es ortogonal?
def ortogonal(matriz): cero = True for i in range(3): for j in range(3): if i != j and i < j: punto = matriz[:,i].dot(matriz[:,j]) if punto != 0: cero = False return cero matriz = np.eye(3) print(matriz) if ortogonal(matriz) and ortogonal(matriz.T): print('Matriz Ortogonal') else: print('NO es Matriz Ortogonal')
A mi me da lo que indica el profe.
A mi igual
existe una propiedad similar de ortonormalidad para los tensores?
Porque no usamos Transpuesta en el segundo vector de la matriz ???
Al multiplicara A.A_t obtuve esto : [[1. 0.] [0. 1.]] [[1. 0.] [0. 1.]]
Yo también
Nota. Propiedades de las matrices ortogonales: (A)(A.T) = (A.T)(A) = matriz_identidad A.T = A^-1
Cuando quiero comprobar si una matriz es ortogonal se me hace mejor hacerlo de esta manera:
#Verificar si es ortogonal matriz_trans = np.dot(matriz, matriz.T) matriz_identidad = np.eye(matriz.shape[0]) ortogonal = np.allclose(matriz_trans, matriz_identidad) print(ortogonal)
Si la salida es True es que lo es.
Cual es la aplicación de una matriz ortogonal?
En mecánica cuántica son muy usadas, también en mecánica clásica, por ejemplo las matrices de giro de Pauli, son ortonormales. Las matrices de rotación también lo son.
para casi todo lo que maneje entornos 3D, por ejemplo las pantallas de los computadores tienen que hacer una transformación lineal de un R3 a un R2, en el caso de juego y programas CAD. esas matrices para poder resolverse de una manera mas sencilla se les hace unos procesos para que sean homogéneas y por ende ortogonales.
Otro ejemplo es en la visión artificial, si quieres darle las coordenadas a un robot de como se debe mover por medio de la información que le entregue una cámara o una imagen, para poder traducir esa información se utilizan de igual manera las matrices ortogonales para facilitar el computo.
El ultimo ejemplo que puedo recordar es, en la creación de imágenes medicas digitales, por ejemplo los resonadores magneticos tienen sensores que detectan señales de cuando una parte de los atomos de hidrogeno en tu cuerpo resonan, esa información para poder ser organizada necesita de estas matrices que contienen la información espacial del paciente y de la maquina.
✅ ¿Qué es una Matriz Ortogonal?
Una matriz cuadrada Q∈Rn×nQ \in \mathbb{R}^{n \times n} es ortogonal si:
QTQ=QQT=IQ^T Q = Q Q^T = I
Es decir:
🎯 Propiedades Clave
PropiedadExplicaciónQ−1=QTQ^{-1} = Q^TInversa fácil de calcular∥Qx∥=∥x∥\|Qx\| = \|x\|Preserva la norma (rotaciones/reflexiones)det(Q)=±1\det(Q) = \pm 1Conserva volumen / orientaciónColumnas y filas ortonormalesBase ortonormal del espacio
🧪 Ejemplo en Python – Verificar Ortogonalidad
import numpy as np
# Matriz de rotación 90 grados en 2D Q = np.array([[0, -1], [1, 0]])
# Verificar si Q^T @ Q = Identidad es_ortogonal = np.allclose(Q.T @ Q, np.eye(2))
print("Q:\n", Q) print("Q^T * Q:\n", Q.T @ Q) print("¿Es ortogonal?", es_ortogonal)
📌 Salida esperada:
Q^T * Q: [[1. 0.] [0. 1.]] ¿Es ortogonal? True
🔧 Cómo Construir una Matriz Ortogonal
La forma más práctica es usar la descomposición QR de scipy o numpy.linalg.
from scipy.linalg import qr
# Matriz aleatoria A = np.random.rand(3, 3)
# Q = matriz ortogonal, R = triangular superior Q, R = qr(A)
print("Matriz ortogonal Q:\n", Q) print("¿Q^T Q = I?", np.allclose(Q.T @ Q, np.eye(3)))
📏 Validar Ortonormalidad Manualmente
# Revisar columnas ortonormales for i in range(Q.shape[1]): print(f"Norma columna {i}:", np.linalg.norm(Q[:, i]))
for i in range(Q.shape[1]): for j in range(i + 1, Q.shape[1]): print(f"Producto interno entre columna {i} y {j}:", np.dot(Q[:, i], Q[:, j]))
🧠 Aplicaciones
🎓 Resumen
ConceptoDescripciónMatriz ortogonalTranspuesta = inversa; columnas y filas ortonormalesOrtonormalidadVectores ortogonales entre sí y de norma 1Verificación PythonQ.T @ Q == I, np.allclose(...), np.linalg.norm(...)
Una matriz ortogonal es una matriz cuyas columnas (o filas) son vectores ortonormales entre sí. Para que un conjunto de vectores sea ortonormal, cada par de vectores debe ser ortogonal (es decir, su producto interno debe ser cero) y cada vector debe tener una norma (longitud) de uno.
Propiedades de una Matriz Ortonormal
