Vectores ortogonales y ortonormales: conceptos y cálculos en Python

Vectores ortogonales

Un vector no puede ser ortogonal en solitario para serlo debe hacer referencia a otro vector, por lo tanto cuando hablemos de este tipo de vector nos estaremos refiriendo a dos mas vectores.
Ser ortogonal es que el angulo que formen estos vectores sea de 90 grados.

%matplotlib inline

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = np.array([0,0,2,2])
B = np.array([0,0,2,-2])

plt.quiver([A[0], B[0]],
          [A[1], B[1]],
          [A[2], B[2]],
          [A[3], B[3]],
           angles='xy', scale_units='xy', 
           scale=1,
          )
plt.xlim(-2,4)
plt.ylim(-3,3)

plt.show() # Muestra dos vectores que forman 90 grados.

v1 = np.array([2,2])
v2 = np.array([2,-2])

print(v1.dot(v2.T)) # Si nos muestra 0 es porque tienen 90 grados.

# Para que un vector sea ortonormal su normal debe ser 1.

print(np.linalg.norm(v1)) # 2.82
print(np.linalg.norm(v2)) # 2.82

# Ya que no nos da 1 su normal concluimos que no son ortonormales.
# Pero para lograr que un vector sea ortonormal lo unico que debo realizar
# Es dividir cada uno de sus elementos por su normal.

vector_ortonormal = v1 * (1/np.linalg.norm(v1))
print(np.linalg.norm(vector_ortonormal)) # Nos devuelve 1.

Maria Guadalupe Diaz Escobar

Gracias por el ejemplo

Marcos Bernal Romero

Teorema: Si n vectores son ortogonales, entonces son linealmente independientes y generan el espacio R^n, es decir, cualquier conjunto de n vectores ortigonales forman una base de R^n

Eli Yiram Sánchez

Un gran ejemplo de éstos son los vectores unitarios i, j, k que viven en R^3

Juan R. Vergara M.

👍🔥

Josue Noha Valdivia

Vectores Ortogonales: Son vectores que forman ángulo de 90 grados. Matemáticamente: A.dot(B) = 0 (puesto que cos(0) = 0) Vectores Ortonormales: Vectores ortogonales cuya norma es 1

Nota:

El máximo número de vectores ortogonales entre sí está dado por la dimensión del espacio en el que estamos trabajando

Osvaldo Olguín

Aclaración. Cos(0) = 1

Juan R. Vergara M.

Gracias 🥇

Carolina Acosta Muñoz

Para lograr ver los vectores con un ángulo de 90° cambié los límites en x 😅

Maria Guadalupe Diaz Escobar

Gracias por el ejemplo

Axel Yaguana

Team Platzi

Hola. 👋🏼 Descubrí que con la siguiente línea se puede hacer lo mismo sin modificar los límites en x

plt.gca().set_aspect("equal")

johan Stever Rodriguez Molina

si se piensa en los ejes x,y ,z. Si los x,y son ortogonales uno que sea ortogonal a los dos se sale de R2, es decir z que esta en R3.

Rodrigo Urquizo Yepez

Si el producto punto o producto interno(np.dot) de dos vectores es cero, quiere decir que son ortogonales, ya que el coseno de 90° es 0, (v1.v2 = normav1normav20 = 0)

Sebastián Andrade

Pero no hay que dividir en el producto de las normas de los vectores ?? tenia entendido que el coseno del angulo que forman dos vectores es:

cos(x) = a * b / norma(a) * norma(b)

Sebastián Andrade

Olvida lo que dije anteriormente xd, me olvide que desde que el producto interno de 0 no importa cuanto de el producto de las normas igual el resultado de esa division va a ser 0

Jhon Freddy Tavera Blandon

Los vectores ortogonales y las matrices ortogonales son conceptos importantes en álgebra lineal que están relacionados con la noción de perpendicularidad y preservación de la longitud y ángulos.

Vectores ortogonales:

Dos vectores se consideran ortogonales si el ángulo entre ellos es de 90 grados (o pi/2 radianes). Esto significa que su producto interno es cero. Algunas propiedades de los vectores ortogonales son:
Si dos vectores son ortogonales, entonces son linealmente independientes.
Si un conjunto de vectores es ortogonal y todos los vectores son diferentes de cero, entonces el conjunto es linealmente independiente.
Matrices ortogonales:
Una matriz cuadrada se considera ortogonal si su matriz traspuesta es igual a su inversa. Esto significa que cuando se multiplica por su traspuesta, el resultado es la matriz identidad. Algunas propiedades de las

matrices ortogonales son:

Las columnas (y las filas) de una matriz ortogonal forman un conjunto de vectores ortogonales entre sí.
La norma de cada columna (y cada fila) de una matriz ortogonal es igual a 1.
La multiplicación de dos matrices ortogonales resulta en otra matriz ortogonal.
La matriz inversa de una matriz ortogonal es su traspuesta.
La determinante de una matriz ortogonal puede ser +1 o -1.
Las matrices ortogonales tienen aplicaciones importantes en diversas áreas, como la geometría, el procesamiento de imágenes, la criptografía y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Es importante tener en cuenta que los conceptos de vectores ortogonales y matrices ortogonales están estrechamente relacionados, ya que las columnas de una matriz ortogonal forman un conjunto de vectores ortogonales, y viceversa, un conjunto de vectores ortogonales puede ser utilizado para formar una matriz ortogonal.

import numpy as np

# Definir dos vectores
v1 = np.array([1, 0, 0])
v2 = np.array([0, 1, 0])

# Verificar ortogonalidad
dot_product = np.dot(v1, v2)
if dot_product == 0:
    print("Los vectores son ortogonales.")
else:
    print("Los vectores no son ortogonales.")

Marcelo Giovanni Sánchez Reyes

para ver el angulo entre vectores en grados

´import math Z = math.acos(x.T.dot(y) / (np.linalg.norm(x) * np.linalg.norm(y))) print(np.degrees(Z))´

Andrés Esteban Rodríguez Jiménez

Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades

Un vector ortogonal es ortogonal únicamente si es en referencia a otro vector, siempre que hablemos de vectores ortogonales, estaremos hablando de dos o más vectores.

Que un vector sea ortogonal, es que el ángulo que los vectores están formando, es un ángulo de 90°, veamos como calcularlo en Python:

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definimos los vectores
x = np.array([0,0,2,2])
y = np.array([0,0,2,-2])

# Graficamos
plt.quiver(
    [x[0], y[0]],
    [x[1], y[1]],
    [x[2], y[2]],
    [x[3], y[3]],
    angles='xy', 
    scale_units='xy', 
    scale=1,
)

plt.xlim(-2,4)
plt.ylim(-3,3)

plt.show()

Lo que veremos es que tendremos dos vectores, que forman un ángulo de 90°:

!Untitled

Sin embargo, vamos a comprobar esto usando el producto interno:

 # quitamos orígenes para calcular el producto interno
x = np.array([2,2])
y = np.array([2,-2])

print(x.dot(y.T)) # Output = 0

Si el producto interno entre dos vectores es 0, significa que el ángulo que forman ambos vectores es un ángulo de 90°, y podemos decir que son ortogonales entre si. Ahora, si deseamos comprobar si estos vectores son ortonormales, tendremos que calcular su norma y si es 1, entonces son ortonormales:

print(np.linalg.norm(x)) # Output = 2.8284271247461903
print(np.linalg.norm(y)) # Output = 2.8284271247461903

Los resultados nos muestran que no son ortonormales. Veamos otro ejemplo cambiando los valores de los vectores:

x = np.array([1,0])
y = np.array([0,-1])

# El resultado nos demuestra que es ortogonal
print(x.dot(y.T)) # Output = 0

# Y además son vectores ortonormales según sus resultados
print(np.linalg.norm(x)) # Output = 1.0
print(np.linalg.norm(y)) # Output = 1.0

Imagina que tienes algunos vectores en un espacio llamado R2, que es como un plano. Si quieres que estos vectores formen ángulos de 90 grados entre sí (como en una esquina de un cuadrado), necesitas solo dos vectores.

Pero, si deseas agregar un tercer vector llamado 'z' y aún quieres que todos los ángulos sean de 90 grados, necesitas moverte a un espacio tridimensional, llamado R3. En R3, puedes tener tres vectores que formen ángulos de 90 grados entre sí, como las esquinas de un cubo.

Entonces, en general, para que 'n' vectores puedan tener ángulos de 90 grados entre todos ellos, necesitas estar en un espacio dimensional Rn, donde 'n' es el número de vectores que tienes. Cada dimensión adicional permite que agregues otro vector que forme ángulos de 90 grados con los demás.

Julián Cárdenas

Buen sumarry gracias!

Mario Emiliano Gordon Pico

Hace 7 años

se puede tener una matriz compuesta de vectores ortogonales y decir que la matriz es ortogonal?

Gary Torres Martínez

Creo que no mi estimado. El concepto de ortogonalidad es exclusivo al manejo de vectores. Lo que corresponde a los vectores de las matrices, es si son linealmente independientes o no, para también saber si son singulares o no.

Saludos!

Cristian Tarazona

Una matriz es ortogonal cuando todas sus filas y columnas son ortonormales. No existe la definición de la matriz ortonormal.

Thomas Gonzalez Rodrigues

matemáticamente estos dos vectores serian lo mismo ya que uno tiene explicito que el las otras r su valor es 0 ósea que es un hiperplano de estas pero el otro no?

np.array([0,0,2,2]) == np.array([2,2])

Benjamín Guzmán

Matemáticamente hablando no serían lo mismo puesto que [0,0,2,2] pertenece a R4 y [2,2] pertenece a R2. Inclusive el 0 en R4 y al 0 en R2 serían elementos distintos porque pertenecen a distintos espacios vectoriales. Pero sí, podría decirse que son los mismos porque técnicamente generan el mismo espacio (una recta que pasa por el origen). Aunque te digo, formalmente no son lo mismo. De hecho si los sumas te debería salir un error de dimensiones.

Yonatan Efraín Jara Boza

Cuidado, que ese vector tenga 4 valores es porque asi quiere el .quiter() de numpy, no esta interpretando 4 dimensiones topológicas. Los valores y cuantos valores tenga el vector se interpreta a partir de que seran input de algo no necesariamente geometrico, y no todo lo geometrico es igual como el caso de estos.

Aclarando eso, bajo ciertas precauciones esos 2 vectores pueden interpretar el mismo punto del espacio -se hace en este curso (por otros motivos)- como cuando se hace una transformación que pueda aplanar el hiperespacio hasta un plano y ese punto justo quedo en el mismo sitio.

Operando con numpy, mejor es no combinar y tratar de mantener una unica notación.

david alvarez

La ley no sería la siguiente?: "es imposible tener n+1 vectores ortogonales en un espacio Rn" ya que si es posible (al contrario de lo que dice el profe) que se puede dar n vectores ortogonales en un espacio Rn. ejemplo: 2 vectores en un espacio de 2 dimensiones.

Yonatan Efraín Jara Boza

De acuerdo

William Wilfredo Moran Torres

Si Un vector es 4,5 tbm 0,0,5,6 punto de origen y su limite entonces si tienes mas valores en el indice como lo interpreto? ejemplo 0,0,2,9,2,3,5 este vector tiene 7 valores , como se interpretaria??

Yonatan Efraín Jara Boza

Los valores del 'vector' van de la mano del input que puede tener una función, método u operador; por ejemplo es asi que para graficar en 2d con .quiter te pide 4 inputs en el que cada uno tiene un rol. . Por otro lado, un vector de 4 valores numéricos en un espacio tetradimensional los inputs tienen un rol diferente, estos indican las coordenadas de la flecha (distinto al que interpreta .quiter). . En otras palabras no hay respuesta que satisfaga todo, hasta podria ser valores por cada día de la semana ya que mencionas 7 si crease una función en el que necesito ese input. No todo tiene que ser interpretado geometricamente, tiene su momento como ahora en este curso. . Entonces, hay multiples interpretaciones sobre el número de elementos, la temporalmente correcta es la que aparezca en las documentaciones de la función donde la usarás.

Juan Carlos Rodríguez

Vectores ortogonales

Ser ortogonal es que el angulo que formen estos vectores sea de 90 grados, siguiendo la ortonomalizacion de Gram-Shmidt

v1 = w1 v2 = v2 -( v2.w1 / w1.w1) *w1

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

v1=np.array([0,0,1,1]) v2=np.array([0,0,3,0])

v1N =np.array([1,1]) v2N =np.array([3,0]) w1=v1N v2Normal = v2N - ((v2N.dot(v1N))/(v1N.dot(v1N)))*w1 v2Nor=np.array([0,0,1.5,-1.5])

print(v2Normal) print(pinterno) plt.xlim(-2,6) plt.ylim(-2,6)

plt.quiver([v1[0], v2[0],v2Nor[0]], [v1[1], v2[1],v2Nor[1]], [v1[2], v2[2],v2Nor[2]], [v1[3], v2[3],v2Nor[3]], angles = 'xy', scale_units = 'xy', scale =1, color =['r','b','green'] ) plt.show()

Rodrigo Martinez

Sea una base ortogonales que pertenecen F (campo, R^n, C^n, polinomios, etc), se puede encontrar una base ortonormal con el procedimiento de Gram–Schmidt, donde se toma un elemento de aquella lista hasta llegar al j - 1 vector.

JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ

Alguien me podría decir porque en el minuto 4:22 el profesor dice que los vectores tienen un ángulo de 90! basándose en el resultado de su producto interno? Muchas Gracias

JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ

Vale se que es porque cos (0) = 0 pero aun así no entiendo muy bien cual es la relacion

Sergio Villarroel Pinto

Hola jesus, el producto interno es |V1v2| = |v1||v2|*cos(angulo entre v1 y v2). Cuando el ángulo es de 90° entonces tendríamos cos(90°) que es igual a 0. pd: cos(0°) = 1

valentina stephany kassar acuña

si va a ser otorgonal es en referencia a otro vector, entonces siempre que hablemos de vectores ortogonales siempre nos haremos referencias a dos o más vectores.
ser ortogonal es que el ángulo que forma estos dos vectores es de 90 grados.
El producto nos permite conocer cual es el ángulo entre los vectores.
Ser ortonormal es cuando la norma de los vectores es uno.

Wilson Fernando Antury Torres

Hace 7 años

Un vector es ortogonal con referencia a otro vector.
Ser ortogonal es que los vectores forman un ángulo de 90 grados.

JOSE MANRIQUE

gracias por el resumen

Yair Enrique Riascos Mestre

Es decir que si nos remontamos al método gráfico 2 vectores son ortogonales si son perpendiculares entre sí.

Francisco Garcia [C6]