Clase 26 de 29 • Curso de Fundamentos de Álgebra Lineal con Python
Contenido del curso
Juan Ignacio Echenique Olsina
Maria Guadalupe Diaz Escobar
Marcos Bernal Romero
Eli Yiram Sánchez
Juan R. Vergara M.
Josue Noha Valdivia
Osvaldo Olguín
Juan R. Vergara M.
Carolina Acosta Muñoz
Maria Guadalupe Diaz Escobar
Axel Yaguana
johan Stever Rodriguez Molina
Rodrigo Urquizo Yepez
Sebastián Andrade
Sebastián Andrade
Jhon Freddy Tavera Blandon
Marcelo Giovanni Sánchez Reyes
Andrés Esteban Rodríguez Jiménez
Julián Cárdenas
Mario Emiliano Gordon Pico
Gary Torres Martínez
Cristian Tarazona
Thomas Gonzalez Rodrigues
Benjamín Guzmán
Yonatan Efraín Jara Boza
david alvarez
Yonatan Efraín Jara Boza
William Wilfredo Moran Torres
Yonatan Efraín Jara Boza
Juan Carlos Rodríguez
Rodrigo Martinez
JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ
JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ
Sergio Villarroel Pinto
valentina stephany kassar acuña
Wilson Fernando Antury Torres
JOSE MANRIQUE
Yair Enrique Riascos Mestre
![Francisco Garcia [C6]](https://static.platzi.com/media/avatars/avatars/garciafran_c845c2fe-2ea4-42db-a305-a7f4ef13b0fd.jpeg){kind=small}
Francisco Garcia [C6]
Vectores ortogonales
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt A = np.array([0,0,2,2]) B = np.array([0,0,2,-2]) plt.quiver([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], [A[2], B[2]], [A[3], B[3]], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, ) plt.xlim(-2,4) plt.ylim(-3,3) plt.show() # Muestra dos vectores que forman 90 grados. v1 = np.array([2,2]) v2 = np.array([2,-2]) print(v1.dot(v2.T)) # Si nos muestra 0 es porque tienen 90 grados. # Para que un vector sea ortonormal su normal debe ser 1. print(np.linalg.norm(v1)) # 2.82 print(np.linalg.norm(v2)) # 2.82 # Ya que no nos da 1 su normal concluimos que no son ortonormales. # Pero para lograr que un vector sea ortonormal lo unico que debo realizar # Es dividir cada uno de sus elementos por su normal. vector_ortonormal = v1 * (1/np.linalg.norm(v1)) print(np.linalg.norm(vector_ortonormal)) # Nos devuelve 1.
Gracias por el ejemplo
Teorema: Si n vectores son ortogonales, entonces son linealmente independientes y generan el espacio R^n, es decir, cualquier conjunto de n vectores ortigonales forman una base de R^n
Un gran ejemplo de éstos son los vectores unitarios i, j, k que viven en R^3
👍🔥
Vectores Ortogonales: Son vectores que forman ángulo de 90 grados. Matemáticamente: A.dot(B) = 0 (puesto que cos(0) = 0) Vectores Ortonormales: Vectores ortogonales cuya norma es 1
Nota:
Aclaración. Cos(0) = 1
Gracias 🥇
Para lograr ver los vectores con un ángulo de 90° cambié los límites en x 😅
Gracias por el ejemplo
Hola. 👋🏼 Descubrí que con la siguiente línea se puede hacer lo mismo sin modificar los límites en x
plt.gca().set_aspect("equal")
si se piensa en los ejes x,y ,z. Si los x,y son ortogonales uno que sea ortogonal a los dos se sale de R2, es decir z que esta en R3.
Si el producto punto o producto interno(np.dot) de dos vectores es cero, quiere decir que son ortogonales, ya que el coseno de 90° es 0, (v1.v2 = normav1normav20 = 0)
Pero no hay que dividir en el producto de las normas de los vectores ?? tenia entendido que el coseno del angulo que forman dos vectores es:
cos(x) = a * b / norma(a) * norma(b)
Olvida lo que dije anteriormente xd, me olvide que desde que el producto interno de 0 no importa cuanto de el producto de las normas igual el resultado de esa division va a ser 0
Los vectores ortogonales y las matrices ortogonales son conceptos importantes en álgebra lineal que están relacionados con la noción de perpendicularidad y preservación de la longitud y ángulos.
Vectores ortogonales:
Dos vectores se consideran ortogonales si el ángulo entre ellos es de 90 grados (o pi/2 radianes). Esto significa que su producto interno es cero. Algunas propiedades de los vectores ortogonales son:
Si dos vectores son ortogonales, entonces son linealmente independientes.
Si un conjunto de vectores es ortogonal y todos los vectores son diferentes de cero, entonces el conjunto es linealmente independiente.
Matrices ortogonales:
Una matriz cuadrada se considera ortogonal si su matriz traspuesta es igual a su inversa. Esto significa que cuando se multiplica por su traspuesta, el resultado es la matriz identidad. Algunas propiedades de las
matrices ortogonales son:
Es importante tener en cuenta que los conceptos de vectores ortogonales y matrices ortogonales están estrechamente relacionados, ya que las columnas de una matriz ortogonal forman un conjunto de vectores ortogonales, y viceversa, un conjunto de vectores ortogonales puede ser utilizado para formar una matriz ortogonal.
import numpy as np # Definir dos vectores v1 = np.array([1, 0, 0]) v2 = np.array([0, 1, 0]) # Verificar ortogonalidad dot_product = np.dot(v1, v2) if dot_product == 0: print("Los vectores son ortogonales.") else: print("Los vectores no son ortogonales.")
para ver el angulo entre vectores en grados
´import math Z = math.acos(x.T.dot(y) / (np.linalg.norm(x) * np.linalg.norm(y))) print(np.degrees(Z))´
Vectores ortogonales, matrices ortogonales y sus propiedades
Un vector ortogonal es ortogonal únicamente si es en referencia a otro vector, siempre que hablemos de vectores ortogonales, estaremos hablando de dos o más vectores.
Que un vector sea ortogonal, es que el ángulo que los vectores están formando, es un ángulo de 90°, veamos como calcularlo en Python:
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Definimos los vectores x = np.array([0,0,2,2]) y = np.array([0,0,2,-2]) # Graficamos plt.quiver( [x[0], y[0]], [x[1], y[1]], [x[2], y[2]], [x[3], y[3]], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, ) plt.xlim(-2,4) plt.ylim(-3,3) plt.show()
Lo que veremos es que tendremos dos vectores, que forman un ángulo de 90°:
!Untitled
Sin embargo, vamos a comprobar esto usando el producto interno:
# quitamos orígenes para calcular el producto interno x = np.array([2,2]) y = np.array([2,-2]) print(x.dot(y.T)) # Output = 0
Si el producto interno entre dos vectores es 0, significa que el ángulo que forman ambos vectores es un ángulo de 90°, y podemos decir que son ortogonales entre si. Ahora, si deseamos comprobar si estos vectores son ortonormales, tendremos que calcular su norma y si es 1, entonces son ortonormales:
print(np.linalg.norm(x)) # Output = 2.8284271247461903 print(np.linalg.norm(y)) # Output = 2.8284271247461903
Los resultados nos muestran que no son ortonormales. Veamos otro ejemplo cambiando los valores de los vectores:
x = np.array([1,0]) y = np.array([0,-1]) # El resultado nos demuestra que es ortogonal print(x.dot(y.T)) # Output = 0 # Y además son vectores ortonormales según sus resultados print(np.linalg.norm(x)) # Output = 1.0 print(np.linalg.norm(y)) # Output = 1.0
Imagina que tienes algunos vectores en un espacio llamado R2, que es como un plano. Si quieres que estos vectores formen ángulos de 90 grados entre sí (como en una esquina de un cuadrado), necesitas solo dos vectores.
Pero, si deseas agregar un tercer vector llamado 'z' y aún quieres que todos los ángulos sean de 90 grados, necesitas moverte a un espacio tridimensional, llamado R3. En R3, puedes tener tres vectores que formen ángulos de 90 grados entre sí, como las esquinas de un cubo.
Entonces, en general, para que 'n' vectores puedan tener ángulos de 90 grados entre todos ellos, necesitas estar en un espacio dimensional Rn, donde 'n' es el número de vectores que tienes. Cada dimensión adicional permite que agregues otro vector que forme ángulos de 90 grados con los demás.
Buen sumarry gracias!
se puede tener una matriz compuesta de vectores ortogonales y decir que la matriz es ortogonal?
Creo que no mi estimado. El concepto de ortogonalidad es exclusivo al manejo de vectores. Lo que corresponde a los vectores de las matrices, es si son linealmente independientes o no, para también saber si son singulares o no.
Saludos!
Una matriz es ortogonal cuando todas sus filas y columnas son ortonormales. No existe la definición de la matriz ortonormal.
matemáticamente estos dos vectores serian lo mismo ya que uno tiene explicito que el las otras r su valor es 0 ósea que es un hiperplano de estas pero el otro no?
np.array([0,0,2,2]) == np.array([2,2])
Matemáticamente hablando no serían lo mismo puesto que [0,0,2,2] pertenece a R4 y [2,2] pertenece a R2. Inclusive el 0 en R4 y al 0 en R2 serían elementos distintos porque pertenecen a distintos espacios vectoriales.
Pero sí, podría decirse que son los mismos porque técnicamente generan el mismo espacio (una recta que pasa por el origen). Aunque te digo, formalmente no son lo mismo. De hecho si los sumas te debería salir un error de dimensiones.
Cuidado, que ese vector tenga 4 valores es porque asi quiere el .quiter() de numpy, no esta interpretando 4 dimensiones topológicas. Los valores y cuantos valores tenga el vector se interpreta a partir de que seran input de algo no necesariamente geometrico, y no todo lo geometrico es igual como el caso de estos.
Aclarando eso, bajo ciertas precauciones esos 2 vectores pueden interpretar el mismo punto del espacio -se hace en este curso (por otros motivos)- como cuando se hace una transformación que pueda aplanar el hiperespacio hasta un plano y ese punto justo quedo en el mismo sitio.
Operando con numpy, mejor es no combinar y tratar de mantener una unica notación.
La ley no sería la siguiente?: "es imposible tener n+1 vectores ortogonales en un espacio Rn" ya que si es posible (al contrario de lo que dice el profe) que se puede dar n vectores ortogonales en un espacio Rn. ejemplo: 2 vectores en un espacio de 2 dimensiones.
De acuerdo
Si Un vector es 4,5 tbm 0,0,5,6 punto de origen y su limite entonces si tienes mas valores en el indice como lo interpreto? ejemplo 0,0,2,9,2,3,5 este vector tiene 7 valores , como se interpretaria??
Los valores del 'vector' van de la mano del input que puede tener una función, método u operador; por ejemplo es asi que para graficar en 2d con .quiter te pide 4 inputs en el que cada uno tiene un rol. . Por otro lado, un vector de 4 valores numéricos en un espacio tetradimensional los inputs tienen un rol diferente, estos indican las coordenadas de la flecha (distinto al que interpreta .quiter). . En otras palabras no hay respuesta que satisfaga todo, hasta podria ser valores por cada día de la semana ya que mencionas 7 si crease una función en el que necesito ese input. No todo tiene que ser interpretado geometricamente, tiene su momento como ahora en este curso. . Entonces, hay multiples interpretaciones sobre el número de elementos, la temporalmente correcta es la que aparezca en las documentaciones de la función donde la usarás.
Vectores ortogonales
Ser ortogonal es que el angulo que formen estos vectores sea de 90 grados, siguiendo la ortonomalizacion de Gram-Shmidt
v1 = w1 v2 = v2 -( v2.w1 / w1.w1) *w1
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
v1=np.array([0,0,1,1]) v2=np.array([0,0,3,0])
v1N =np.array([1,1]) v2N =np.array([3,0]) w1=v1N v2Normal = v2N - ((v2N.dot(v1N))/(v1N.dot(v1N)))*w1 v2Nor=np.array([0,0,1.5,-1.5])
print(v2Normal) print(pinterno) plt.xlim(-2,6) plt.ylim(-2,6)
plt.quiver([v1[0], v2[0],v2Nor[0]], [v1[1], v2[1],v2Nor[1]], [v1[2], v2[2],v2Nor[2]], [v1[3], v2[3],v2Nor[3]], angles = 'xy', scale_units = 'xy', scale =1, color =['r','b','green'] ) plt.show()
Sea una base ortogonales que pertenecen F (campo, R^n, C^n, polinomios, etc), se puede encontrar una base ortonormal con el procedimiento de Gram–Schmidt, donde se toma un elemento de aquella lista hasta llegar al j - 1 vector.
Alguien me podría decir porque en el minuto 4:22 el profesor dice que los vectores tienen un ángulo de 90! basándose en el resultado de su producto interno? Muchas Gracias
Vale se que es porque cos (0) = 0 pero aun así no entiendo muy bien cual es la relacion
Hola jesus, el producto interno es |V1v2| = |v1||v2|*cos(angulo entre v1 y v2). Cuando el ángulo es de 90° entonces tendríamos cos(90°) que es igual a 0. pd: cos(0°) = 1
si va a ser otorgonal es en referencia a otro vector, entonces siempre que hablemos de vectores ortogonales siempre nos haremos referencias a dos o más vectores.
ser ortogonal es que el ángulo que forma estos dos vectores es de 90 grados.
El producto nos permite conocer cual es el ángulo entre los vectores.
Ser ortonormal es cuando la norma de los vectores es uno.
gracias por el resumen
Es decir que si nos remontamos al método gráfico 2 vectores son ortogonales si son perpendiculares entre sí.
x = np.array([0,0,1,0]) y = np.array([0,0,0,-1]) plt.quiver([x[0], y[0]], [x[1], y[1]], [x[2], y[2]], [x[3], y[3]], angles = 'xy', scale_units = 'xy', scale=1, color = sns.color_palette() ) plt.xlim(-2,4) plt.ylim(-3,3) plt.show()
