Sistemas de Ecuaciones: Soluciones Únicas, Múltiples o Ninguna
Contenido del curso
Josue Noha Valdivia
Andres López
Julián Cárdenas
Juan Cruz Stakys
Sergio Rubiano
Sergio Rubiano
Julio Cardenas
Javier Andres Atuesta Esparza
Ikal Esteban Fernández Galván
Edwin Moreno
Juan R. Vergara M.
Wilson Fernando Antury Torres
José Indalicio Carvajal Hernández
Santiago Ahumada Lozano
David Gonzalez
RAUL SERGIO ESPEJO TICONA
Santiago Ahumada Lozano
Jaime Andres Valencia Gaviria
LUIS ANTONIO CALVO QUISPE
LUIS ANTONIO CALVO QUISPE
LUIS ANTONIO CALVO QUISPE
Joseba Fuentes
Mariandrea Cruz
David Amiel
Hector F
Jaime Arturo Blanco Gutiérrez
Hector F
Santiago Gomez Florez
Martí Falcón Padró
Ana Guzmán
Felipe Andrés González Quintero
Alejandro Vega Villegas
Mario Alexander Vargas Celis
Tipos de sistemas de ecuaciones:
¡Buen resumen!
Gracias, un excelente resumen!
2 rectas pueden: no cruzarse (ser paralelas) cruzarse en un solo punto o compartir todos los puntos de ninguna manera pueden compartir más de un punto si no comparten todos, es por esto que un sistema de ecuaciones lineales puede tener solamente 0, 1 o infinitas soluciones.
por que no me aparece el botón en la gráfica para interactuar con ella ?
se me había olvidado poner la siguiente linea al comienzo de mi codigo
%matplotlib notebook
Gracias Sergio, buen aporte
No se si se actualizo pero si colocas esta linea te deja ver si pones el notebook no te va a dejar ver
<code> %matplotlib inline
GRACIAS
A los compañeros les recomiendo, como material adicional, el libro de Métodos Numéricos de Chapra & Canale (cualquiera de sus ediciones), en este libro se tratan algoritmos para resolver los SEL, entre ellos: Jacobi, Gauss-Seidel y Gauss-Seidel S.O.R.
Construí esos algoritmos en Python y Colab, en el siguiente enlace pueden explorar: https://colab.research.google.com/drive/197RrHFJ1IhBnC2zkPuE1s71LiubsbhEi?usp=sharing
Gracias 😎
ecuaciones > variables: sobre determinado ecuaciones = variables: determinado ecuaciones < variables: indeterminado
Si hay la misma cantidad de ecuaciones que de variables puede ser indeterminado si el determinante de la matriz asociada al sistema es cero
Para los que tuvieron problemas con el comando de %matplotlib notebook, encontré que ese comando ya no es usado y que ahora se usa:
%matplotlib widget
Pero primero debes instalar en tu entorno el paquete de ipympl. Si estás utilizando conda,entonces con:
conda install ipympl
o con pip:
pip install ipympl
soy el unico en el colab no me corre la grafica ya revise el codigo
Me pasa lo mismo
tener en cuenta que un sistema con infinitas soluciones puede existir para varias ecuaciones, esto se ve si las rectas están una sobre la otra
Jugando un poco, con Matplotlib .. obtenemos las siguientes graficas para los sistemas Incompatible y Indeterminados
Sistema Incompatible
# Sistema de Ecuaciones Incompatible X = np.linspace(-10,10,100) Y1 = 3*X + 5 Y2 = -X + 3 Y3 = 2*X + 1 plt.figure() plt.title('Sistema de Ecuaciones Lineales') plt.plot(X,Y1, label=r'$ 3\alpha + 5$') plt.plot(X,Y2, label=r'$ -\alpha + 3 $') plt.plot(X,Y3, label=r'$ 2*\alpha + 1$') plt.legend() plt.xlim(-8,8) plt.ylim(-8,8) plt.text(1,-6,'Sistema Incompatible :\n No existe Solución') plt.axvline(x=0, color='grey') plt.axhline(y=0, color='grey') plt.show()
Sistema Indeterminado
# Sistema de Ecuaciones Indeterminado X = np.linspace(-10,10,100) Y1 = 3*X + 5 Y2 = (9*X + 15)/3 Y3 = ( X + (5/3))*3 plt.figure() plt.title('Sistema de Ecuaciones Lineales') plt.plot(X,Y1,'r--', label=r'$ 3\alpha + 5$', marker='<') plt.plot(X,Y2,'b--', label=r'$ \frac{9\alpha + 15}{3} $', marker='*') plt.plot(X,Y3,'g--', label=r'$ (\alpha + \frac{5}{3})\cdot 3 $', marker='.') plt.legend() plt.xlim(-8,8) plt.ylim(-8,8) plt.text(1,-6,'Sistema Indeterminado :\n Existen Infinitas Soluciones') plt.axvline(x=0, color='grey') plt.axhline(y=0, color='grey') plt.show()
Hay un fallo aquí, se esta reproduciendo un vídeo sobre el alcance de las funciones en python dado por otro profesor
hola, gracias por el reporte, ya quedó corregido!
Hola a todos, para los que tiene problemas para crear el grafico interactivo, y estan usando Jupyter hagan lo siguiente: Instala desde el enviroment del navigator de anaconda: ipympl y jupyterlab-widgets
Inicia Jupyter, en el codigo de la clase reemplaza el "%matplotlib notebook" por "%matplotlib widget" Y al final del codigo puedes eliminar o comentar el "plt.show()", porque el grafico aparecera automaticament. Saludos.
¿Cómo puedo hacer para graficar TODOS los puntos que cumplan una ecuación con pyplot?
Intuyo que te refieres a alguno de los ejemplos puestos en la clase En tal caso sería un sistema de infinitas soluciones, que se representaria por una recta infinita.
Lo digo en general.
En los ejemplos mostrados se ve sólo una parte de las soluciones de la ecuación. Mi pregunta es si se pueden graficar todos.
Para quien tenga problema con visualizar de forma interactiva puede utilizar este codigo que ejecuta de forma externa el grafico y permite interactuar con el sin ningun problema 😁
import matplotlib matplotlib.use('Qt5Agg')
0 soluciones = sobredeterminado: nº eucaciones > nºvariables
1 solución = determinado: nº eucaciones = nºvariables
Infinitas soluciones = indeterminado: nº eucaciones < nºvariables
Acá la solución del sistema de ecuaciones determinado propuesto en la clase.
Más ecuaciones que variables: Sistema sobre determinado.
Genere en Gemini un código para calcular la solución de un sistema de ecuaciones y graficar la solución
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # ========================================== # 1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA (A * X = B) # ========================================== # Matriz de coeficientes (A) # 2x + 3y # 1x - 2y A = np.array([ [2, 3], [1, -2] ]) # Vector de resultados (B) B = np.array([8, -3]) # ========================================== # 2. SOLUCIÓN ALGEBRAICA (X = A_inv * B) # ========================================== # Calculamos la matriz inversa de A A_inv = np.linalg.inv(A) # Multiplicamos la inversa de A por B (Producto punto) # Se puede usar el operador '@' para la multiplicación de matrices en Python moderno solucion = np.dot(A_inv, B) x_sol = solucion[0] y_sol = solucion[1] print(f"La solución exacta es:") print(f"X = {x_sol:.2f}") print(f"Y = {y_sol:.2f}") # ========================================== # 3. GRAFICACIÓN CON MATPLOTLIB # ========================================== # Generamos un rango de valores para X (del -5 al 5) x_vals = np.linspace(-5, 5, 100) # Para graficar, necesitamos despejar "y" en ambas ecuaciones de la forma: y = (c - ax) / b # Ecuación 1: 2x + 3y = 8 => y = (8 - 2x) / 3 y1_vals = (8 - 2 * x_vals) / 3 # Ecuación 2: x - 2y = -3 => y = (-3 - x) / -2 => y = (x + 3) / 2 y2_vals = (x_vals + 3) / 2 # Configuramos el lienzo plt.figure(figsize=(8, 6)) # Dibujamos ambas líneas plt.plot(x_vals, y1_vals, label="2x + 3y = 8", color="blue") plt.plot(x_vals, y2_vals, label="x - 2y = -3", color="green") # Marcamos el punto exacto de la solución (la intersección) plt.scatter(x_sol, y_sol, color="red", zorder=5, s=100, label=f"Solución ({x_sol:.2f}, {y_sol:.2f})") # Estética del gráfico (Ejes centrados en el 0) plt.axhline(0, color='black', linewidth=1) plt.axvline(0, color='black', linewidth=1) plt.grid(color='gray', linestyle='--', alpha=0.5) plt.xlim(-5, 5) plt.ylim(-5, 5) plt.xlabel("Eje X") plt.ylabel("Eje Y") plt.title("Solución de Sistema de Ecuaciones Lineales") plt.legend() # Mostramos el resultado plt.show()
En Álgebra, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Las soluciones del sistema representan los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Según las características de las rectas (en el caso de sistemas lineales de dos variables), los sistemas pueden tener:
🔹 1. Una Solución Única (Sistema Compatible Determinado)
Ejemplo:
{x+y=5x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
✅ Tiene una única solución: x=3x = 3, y=2y = 2
🔹 2. Infinitas Soluciones (Sistema Compatible Indeterminado)
Ejemplo:
{2x+4y=6x+2y=3\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}
✅ Las dos ecuaciones representan la misma recta. Infinitas soluciones: cualquier par (x,y)(x, y) que cumpla la ecuación.
🔹 3. Ninguna Solución (Sistema Incompatible)
Ejemplo:
{x+2y=4x+2y=7\begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases}
❌ No hay solución. Las rectas son paralelas.
🔎 ¿Cómo determinar el tipo de solución?
Si el sistema es de la forma:
{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}
Revisa los cocientes:
ComparaciónTipo de Sistemaa1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}Una solución únicaa1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}Infinitas solucionesa1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}Ninguna solución
