Producto Interno y Ángulo entre Vectores en Python
Contenido del curso
Rodrigo Urquizo Yepez
Anderson Steven Mendez Chipatecua
Maria Guadalupe Diaz Escobar
Josue Noha Valdivia
Dax Collas Maldonado
Gabriel Escribá
Gabriel Escribá
Gabriel Escribá
Juan David Colorado Alvarez
Leslie Paz Ore
Carolina Acosta Muñoz
Rafael Rivera
![Francisco Garcia [C6]](https://static.platzi.com/media/avatars/avatars/garciafran_c845c2fe-2ea4-42db-a305-a7f4ef13b0fd.jpeg)
Francisco Garcia [C6]
Christian Sanclemente
Mauricio Rojas Nova
Juan Ignacio Echenique Olsina
Mercedes Jue
Cornelio Reyes
Juan Acevedo
Romel Manrique
Cristian Tarazona
Gian franco baltazar mamani
Marcelo Sánchez
Wilson Fernando Antury Torres
Danilo Francisco Espinoza Pino
EDWIN CAN
Lourdes Nuñez Burgos
Diego Jurado
Thomas Gonzalez Rodrigues
Viniendo del curso de redes neuronales este tema es bastante importante, ya que el coseno, que vendria a ser: cos(x) = v1v2 / norma(v1)*norma(v2) Se usa como metrica para medir el accuracy de un modelo de machine learning, midiendo la similitud entre el vector de los labels y el vector de nuestras predicciones.
Gracias a este comentario le prestare aun mas atención a esta clase
Gracias
Producto interno en función de la norma
Notas:
yo lo conocia como producto punto
les dejo el codigo para determinar el ángulo de dos vectores teniendo el producto interno cómo función de una norma entre ellos, tendrá más de una parte, siguiendo en las respuestas
Comencemos con la base matemática
Para el producto interno cómo función de una norma, tenemos la sig. ecuación: V1TxV2 = L2(V1)L2(V2)cos(a) a es el ángulo Lo que está a la derecha de la igualdad es la parte que nos importa, ya que ahí se encuentra el ángulo y es lo que queremos saber, despejando cos(a) dónde se encuentra el ángulo obtendremos lo siguiente: cos(a) = V1TxV2 / (L2(V1)L2(V2)) Para despejar a, usaremos la función arccos, que es la inversa del coseno, tal que: arccos(cos(a)) = a (recuerden que a es nuestro ángulo que estamos buscando)
(2) Ahora vamos al código, teniendo los pares de vectores AB y CD en dónde se establece que A = [2 2] , B= [0 3] , C= [1 3] , D=[5 4]
#creamos los vectores, trabajaremos con A y B en una primera instancia A = np.array([1,2]) B = np.array([5,3]) C = np.array([1,3]) D = np.array([5,4]) /*determinamos el valor de ATxB*/ ATxB = A.T.dot(B) ATxB (6) #determinamos el valor de la segunda norma para ambos vectores por separado, para luego multiplicar A_L2 = np.linalg.norm(A, ord=2) B_L2 = np.linalg.norm(B, ord=2) AL2xBL2 = A_L2 * B_L2
(3)
#modelamos nuestras funciones con la base matemática que determinamos más arriba, integrando lo que llevamos cos_angulo_ab = ATxB / AL2xBL2 (0.7071067811865475) #añadimos la función arccos para obtener el ángulo(en radianes) angulo_ab_rad = np.arccos(cos_angulo_axb) (0.7853981633974484) #pasamos radianes a grados angulo_ab = np.rad2deg(angulo_ab_rad) (45) #esto significa que el ángulo que crea A y B es de 45°
Si alguien tiene curiosidad del ejemplo de los documentos este vídeo explican como utilizar la similitud coseno, en los primeros 5 mins esta un ejemplo de como se haría a mano y como se haría en python.
Si 2 vectores (v1, v2) difieren en noventa grados, serían vectores perpendiculares, y el producto interno de 2 vectores perpendiculares es igual a 0. Me parece o esta sería la razón por la que, en el ejemplo del documento, un documento no tiene que ver nada con el otro.🤔
Gracias por el análisis. Es cierto, esa debe ser la razón 😊
Buen análisis :)
para hallar el angulo entre 2 vectores
import math def dotproduct(v1, v2): return sum((a*b) for a, b in zip(v1, v2)) def length(v): return math.sqrt(dotproduct(v, v)) def angle(v1, v2): return np.rad2deg(math.acos(dotproduct(v1, v2) / (length(v1) * length(v2))))
v01 = np.array([0,3]) v02 = np.array([3,3])
angle(v01, v02) 45.0
Que curso tan bien hecho, el profesor explica muy bien y detenidamente.
El ángulo entre dos vectores es importante en las aplicaciones de machine learning. Por ejemplo, si tenemos dos grupos de palabras y cada uno corresponde a un vector, dependiendo del valor del ángulo entre estos podemos decir si los grupos de palabras son similares o no.
El producto interno como función de una norma y su visualización
Otra forma de obtener el mismo resultado que realizando el producto interno entre el transpuesto de un vector v1 y un vector v2, es realizando, el producto la normal dos de un vector v1 por la normal dos de un vector v2 por el coseno del angulo que forman es decir:
$v1^t.dot(v2) = norm^2(v1).norm^2(v2).cos(α)$
Nota:
Esto es utilizado en machine learning para encontrar diferencias entre documentos por ejemplo, ya que si evaluo una serie de oraciones como vectores y comparo con otra, si el angulo que forman es muy chico podemos concluir que las dos cadenas de oraciones se parecen, si por el contrario el angulo que forman es de 90 grados podemos decir que no se parecen en nada.
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns v1 = np.array([0,0,0,3]) v2 = np.array([0,0,3,3]) plt.xlim(-2,6) plt.ylim(-2,6) plt.quiver([v1[0],v2[0]], [v1[1],v2[1]], [v1[2],v2[2]], [v1[3],v2[3]], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color = sns.color_palette() ) plt.show()
Como calculamos el angulo que forman?
# Para los arreglos. v1 = np.array([0,3]) v2 = np.array([3,3]) # Realizamos su producto interno. prod_in = v1.T.dot(v2) # Calculamos las L2. v1_norm = np.linalg.norm(v1) v2_norm = np.linalg.norm(v2) # Para calcular el nos aprovechamos de la igualdad de: # v1^t * v2 = L2(v1) * L2(v2) * cos(a). cos_a = prod_in / (v1_norm * v2_norm) # Despejamos el cos. ang_rad_a = np.arccos(cos_a) # Pasamos de radiantes a grados. ang_gra_a = np.rad2deg(ang_rad_a) print(ang_gra_a) # Nos devuelve 45 lo que nos dice que hay entre v1 y v2 45 grados.
Les recomiendo ver la serie de videos Esencia del Álgebra Lineal del canal 3blue1brown en Youtube. Explica la razón de las cosas, esta forma que tiene el profesor realmente no me cierra, es repetir formulas como recetas de cocina. Ademas viejísimo el material...
" En álgebra lineal, la norma de un vector es unnúmero que indica la longitud o tamaño de un vector en el espacio. También se le conoce como magnitud o longitud del vector" , creo que se debe aclarar... reviso y re-veo, y el profesor no brinda una definición concreta, mas allá de sus calculos... en mi caso se me hizo dificil comprender el concepto de norma.
Crack , en el incio cunado explico que es una norma lo explico re claramente jaja
Aspectos a tener en cuenta :
Tiene un uso muy peculiar e intrigante a la vez, siempre me quedo conforme al final de sus clases al escuchar los usos que se le pueden dar a lo que aprendemos
La formula para calcular el producto de 2 vectores a partir de la norma y el angulo que forman es basicamente una maravilla, en teoria de circuitos se puede utilizar en circuitos y calcular por ejemplo el factor de potencia (FP).
Es distinto vector.T.dot(vector) que vector.dot(vector)? hice algunas pruebas y me dan lo mismo, pero al inicio del video el profe especifico que era la Traspuesta para que la norma y el producto interno del vector_t y el vector fueran lo mismo.
producto punto: v1 ° v2 = |v1|*|v2|cos x producto cruz : v1 X v2 = |v1||v2|*sin x
Yo no se si soy no más ignorante en matemáticas, pero no me gusta como enseña, no entiendo, va muy rápido, cero pedagogía
No se si por él, pero diría que mas por mí.. no lo entiendo todo.
para entender las implicaciones de esta dualidad les recomiendo este video
Producto escalar y la dualidad | Esencia de álgebra lineal, capítulo 7
