Comprobación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
Contenido del curso
johan Stever Rodriguez Molina
Danilo Toro
Juan Ventrone
Daniel Reyes Barrera
Cesar Arturo Castanon Acuna
Diaz Mauricio
María José Medina
Josue Noha Valdivia
Sebastian Ovalle Ovalle
Carlos Daniel Pimentel Díaz
jean pierre gabriel nieto acosta
Paola Alapizco
Rodrigo Garza
Julian Castro Pulgarin
Juan R. Vergara M.
Angel Armando Martínez Blanco
Wilson Montenegro
Lizandro José Ramírez Difo
Adrian Matute
Fernando Campos
Jose Potes
Wilson Fernando Antury Torres
Victor
DAVID AGUDELO VALENCIA
César Daniel Carrasco Gutiérrez
Yonatan Efraín Jara Boza
Maximiliano Cuesta
Javier Armando Choque Sansuste
Patricia Carolina Perez Felibert
William Wilfredo Moran Torres
Mauricio Rojas Nova
Yonatan Efraín Jara Boza
tengan cuidado. lo que el profesor puso al final de x =b/? es un error tremendo a pesar de que lo hace solo con fines educativos. Realmente la división de vectores o matrices "NO EXISTE".
la división no existe, se usa solo para fines educativos
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal queA/B = AB**(-1):
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
ACLARACION: Al final de la clase el profesor hace un despeje dudoso ya que se esta trabajando con matrices, como tenemos Ax = b = (Matriz 2x2)(Matriz 2x1) = (Matriz 2x1). Lo correcto para despejar la matriz (o vector) x seria multiplicar por la izquierda la inversa de A y por tanto nos quedaria como: x = A_inv * b
import numpy as np A = np.array([[-3,1],[-2,1]]) b = np.array([5,3]) A_inv = np.linalg.inv(A)
El valor de x es
x = A_inv.dot(b) print(x)
output
array([-2., -1.])
Lo cual coincide analíticamente con nuestros resultados.
Aqui un complemento: .
Gracias
Equivalencia entre sistemas de ecuaciones y multiplicación de matrices
Sistema de Ecuaciones lineales: Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales a través de una operación matricial. La ventaja de este método es que es mucho más ordenado y transferible a la computadora. La representación matricial AX=B es equivalente a un sistema de ecuaciones puesto que el producto interno también se puede ver como combinaciones lineales.
Nota: Representación gráfica de rectas a través de matplotlib (plt)
x = xp.arange(0,5,1) #genera un intervalo de datos con (inicio, fin, pasos) y = 3*x + 2 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas x plt.figure() #genera el grafico plt,plot(x,y) #genera el grafico con las coordenadas indicadas (se puede generar mas de una) plt.xlim(0,5) #limites del eje x plt.ylim(-5,-5,) #limites del eje y plt.axvline(x=0, color = 'grey') #eje vertical plt.axhline(y=0, color = 'grey') #eje horizontal
Tenía un par de errores, y lo puse para que grafieque facilmente.
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-5,5,1) #genera un intervalo de datos con (inicio, fin, pasos) y = 3*x + 5 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas x z = 2*x + 3 #genera los las coordenadas y a traves de las coordenadas y plt.figure() #genera el grafico plt.plot(x,y) #genera el grafico con las coordenadas indicadas (se puede generar mas de una) plt.plot(x,z) plt.xlim(-5,5) #limites del eje x plt.ylim(-5,5) #limites del eje y plt.axvline(x=0, color = 'grey') #eje vertical plt.axhline(y=0, color = 'grey') #eje horizontal
Si alguien quiere resolver el sistema de ecuaciones con NumPy, aquí está el código:
A = np.matrix([[-3, 1], [-2,1]]) b = np.matrix([[5],[3]]) x = (A**-1)*b print(x)
este curso ha estado bastante interesante, le deberian poner en el titulo numpy porque si se aprende bastante de np y sus funciones
Hola compañeros! 👋, a continuación les dejo mis apuntes sobre la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, la base es justamente el ejercicio que se ve en la clase.
Representación matricial
Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en un formato matricial, esto nos ayuda a resolver este sistema de forma "programática" utilizando herramientas especializadas como numpy, así podremos obtener los valores de x y y sin hacerlo a lápiz y papel.
Si deseamos representar las ecuaciones del ejemplo en un formato matricial, debemos dejar a las variables en el mismo lado de la igualdad.
Entonces las ecuaciones quedarían así:
Para representar un sistema de ecuaciones lineales en matrices necesitamos 3 crear matrices a partir de las ecuaciones que ya tenemos:
El sistema de ecuaciones lineales anterior al representarlo en un formato matricial nos quedaría la siguiente expresión: AX = B o bien:
Ya que sabemos como se ve la representación matricial de nuestro sistema de ecuaciones, podemos resolverlo utilizando numpy.
Antes de continuar debemos tener en cuenta, que ya conocemos los valores que conforman las matrices A (coeficientes) y B (constantes), pero nos falta conocer que valores conforman a la matriz de variables X, eso es justamente lo que hace el código de abajo:
A = np.array([[-3,1], [-2,1]]) # Matriz de coeficientes B = np.array([5,3]) # Matriz de constantes X = np.linalg.solve(A, B) print("La solución al sistema de ecuaciones lineales:") print(f"x = {round(X[0])}", f"y = {round(X[1])}", sep="\n") ```El resultado que obtenemos es: `x = -2` y `y = -1` Donde los valores `x = -2` y `y = -1` representan la coordenada `(-2,-1)` donde las gráficas de las ecuaciones se interceptan. Para comprobarlo pasemos a su respectiva visualización: ```python plt.plot(x,y_1) plt.plot(x, y_2) plt.xlim(-5, 5) plt.ylim(-5, 5) # Intersección entre las ecuaciones plt.vlines( x=X[0], ymin=X[1], ymax=0, linestyle="dashed", color="black" ) plt.hlines( y=X[1], xmin=0, xmax=X[0], linestyle="dashed", color="black" ) plt.plot(-2, -1, "ro") plt.axvline(x=0, color="grey") plt.axhline(y=0, color="grey") plt.show()
Espero este aporte les sea de utilidad, #NuncaParenDeAprender
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Otra opción para resolver sistemas de ecuaciones con matrices es con el uso de determinantes les dejo un ejemplo por si a alguien le interesa:
Esa es la regla de Cramer :D
Wao que gran clase, nunca había visto esta forma de comprobación.
Hacer las operaciones con matrices ofrece una gran ventaja para resolverlas de forma computacional. De hecho, es una de sus principales aplicaciones. Al tener todo expresado como matrices, el sistema de ecuaciones se convierte en una simple ecuación que se resuelve con un despeje. Debido a que no existe tal cosa como "división de matrices" lo que se hace es obtener la matriz inversa.
import numpy as np import numpy.linalg as lin #librería para obtener la inversa import matplotlib.pyplot as plt A = np.array([ [-3, 1], [-2, 1] ]) C = np.array([ [5], [3] ]) B = lin.inv(A) @ C print(B)
Como resultado de este despeje, es la matriz B que es la que contiene las incógnitas.
[[-2.] [-1.]]
Por si a alguien le interesa, hasta aca todo se puede hacer con Deepnote en lugar de Jupyter.
Otra forma de resolver ecuaciones usando la librería numpy:
import numpy as np ig = np.array([1,0]) coe = np.array([[3,1],[1,2]]) solv = np.linalg.solve(coe, ig) x = solv[0] y = solv[1] {'x':x,'y':y}
no entiendo por que en casi todos los cursos que usan jupyter colocan matplotlib inline si de todas formas sin colocarlo te muestra la figura que estas formando abajo
Hola 👋🏼 Me parece que es por cuestión de buenas prácticas, y creo que en versiones anteriores, efectivamente, no lo mostraba si no lo ponías
Hola, si te pareció frustrante esta clase como a mi.(mas que todo al ver los comentarios de personas que ya estan en este ambito). no te preocupes. solo trata de entender lo que el profesor esta haciendo con los conocimientos que ya tienes. si no entiendes nada sobre despeje de ecuaciones lineales. dale, ve al curso de fundamentos matematicos en platzi.(https://platzi.com/cursos/fundamentos-matematicas/) ahora, lo que hizo el profesor es lo siguiente.
Dale, que puedes, es complejo al inicio por la familiarizacion de terminos y procesos. pero, dale, sigue.
gracias, no entendia esto.
%matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-5,5) y_1 = 3*x + 5 y_2 = 2*x + 3 plt.figure() plt.plot(x, y_1) plt.plot(x, y_2) plt.xlim(-5, 5) plt.ylim(-5, 5) plt.axvline(x=0, color='grey') plt.axhline(y=0, color='grey') A = np.array([[-3, 1],[-2, 1]]) print(A) b = np.array([[5],[3]]) print(b) sol_1 = np.array([-2, -1]) print(sol_1) print(A.dot(sol_1))
En la variable sol_1 ¿la matriz no debió haber sido?
np.array([[-2],[-1]])
Lo pregunto por que si lo escribo de esa forma al hacer la comparación:
print(A.dot(sol_1) == B) [[ True] [ True]]
Y de la otra forma no me da True si no me da:
sol_2 = np.array([-2, -1]) print(A.dot(sol_2) == B) [[ True False] [False True]]
Como lo planteas hubiese compatibilizado los resultados del profesor, la idea simplemente es mantener una nomenclatura comun ya sea cambies sol_1 (como hiciste) o cambies B a vector.
Hola gente, como podriamos aplicar esto a un ejemplo concreto de data science? Pregunto desde el desconocimiento, ya que nos explican conceptos matematicos avanzados y no sabria en donde aplicarlos!
¿Alguien sabe como cuadricular nuestro eje de coordenada?
importando matplotlib.pyplot as plt puedes usar la funcion plt.grid() , la cual crea una cuadrícula
porque la sol_1 no es igual np.array([[5],[3]]) y es np.array([5,3])???
Debe ser así ya que la solución es un vector. Si fuese np.array([[5],[3]]) sería una matriz de 2 filas y 0 columnas.
Porque definió a 'b' como una matriz ([[5],[3]]) y no como vector ([5,3]). Para este caso es interpretado como lo mismo pues un vector puede operar con matrices como si fuese una matriz vertical u horizontal adaptativamente (se puede probar en numpy).
