Combinaciones Lineales y Espacios Vectoriales en R2 y R3

Clase 19 de 29 • Curso de Fundamentos de Álgebra Lineal con Python

Resumen

¿Cómo podemos generar espacios en sí mismos a partir de vectores?

En la investigación de álgebra lineal, comprender cómo los vectores pueden generar espacios es fundamental. Todo comienza con la combinación lineal de vectores, una técnica poderosa que permite crear espacios en sí mismos, como se vio en la clase anterior. Este proceso implica utilizar combinaciones específicas de vectores para formar un espacio determinado. Vamos a explorar cómo esto se realiza, utilizando vectores en diferentes espacios y cómo el resultado puede variar dependiendo de los vectores elegidos.

¿Cómo graficar el espacio generado por vectores?

Para visualizar el espacio generado por vectores dados, usamos herramientas de programación como NumPy y Matplotlib, que permiten crear gráficos interactivos. El enfoque general es el siguiente:

Definir los vectores: Se comienza definiendo los vectores que se usarán para generar el espacio. Por ejemplo, tenemos:
- ( v_1 = \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} )
- ( v_2 = \begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} )
Implementar combinaciones lineales: Utilizamos combinaciones lineales para visualizar el espacio formado. Esto implica integrar el código necesario para realizar las operaciones matemáticas y gráficas.
Definir límites gráficos: Establecemos límites para los ejes del gráfico, permitiendo así una visualización clara del espacio.
Interpretar resultados: En este caso, observamos que la combinación de estos vectores resulta en una recta, debido a la interdependencia de los vectores.

¿Qué ocurre al modificar los vectores iniciales?

Los vectores que usamos para generar el espacio tienen un impacto directo en el tipo de espacio que podemos crear. Por ejemplo, cambiemos los vectores iniciales a:

( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} )
( v_2 = \begin{bmatrix} 2 \ -3 \end{bmatrix} )

Esto nos lleva a una diferente configuración. Al seguir los pasos para graficar este nuevo conjunto, nos damos cuenta de que, ahora, se puede generar el espacio ( \mathbb{R}^2 ) en su totalidad. Este tipo de transformaciones resaltan cómo cambiar los vectores altera dramáticamente el espacio resultante.

¿Cómo se relacionan los subespacios en espacios de mayor dimensión?

Es usual en álgebra lineal trabajar en espacios de diferentes dimensiones. Por ejemplo, ( \mathbb{R}^3 ) puede contener subespacios como ( \mathbb{R}^2 ), y queremos observar cómo los subespacios interactúan en espacios de mayor dimensión. Para ilustrarlo:

Definir vectores en (\mathbb{R}^3): Usamos vectores como:
- ( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} )
- ( v_2 = \begin{bmatrix} 2 \ -3 \ 0 \end{bmatrix} )
Configurar gráficos en 3D: Utilizamos opciones gráficas en tres dimensiones, aportando una visualización más rica de las interacciones entre vectores.
Comprender hiperplanos: Un hiperplano en (\mathbb{R}^3) es un espacio de dimensión menos uno. Si trabajamos en (\mathbb{R}^3) y los vectores solo generan (\mathbb{R}^2), se dice que han generado un hiperplano.

¿Cómo aplicar el conocimiento adquirido?

En el contexto de cualquier estudio matemático o de física, aplicar este conocimiento es esencial. Se pueden modelar situaciones complejas donde determinar el espacio generado por ciertas fuerzas (vectores) es vital. Esto también se aplica en economía y ciencias de la computación, donde el modelado espacial a menudo implica descomponer problemas en vectores y sus combinaciones para prever resultados o optimizar soluciones.

La comprensión y aplicación práctica de combinaciones lineales y subespacios prepara a los estudiantes y profesionales para desafíos en múltiples disciplinas. Entender cómo los vectores interactúan para formar espacios es crucial en el desarrollo de habilidades técnicas avanzadas, y representa la base para investigaciones más profundas en matemáticas aplicadas y teoría de sistemas.

Bryan Jesús López González

student•

La razón por la que los vectores (-1,-1) y (1,1) no pueden generar a R2 (teniendo en cuenta que la generación del espacio se obtiene con la variación de los escalares como lo hemos venido haciendo) es porque estos dos vectores no son linealmente independientes entre sí, en términos más sencillos véase que estos vectores son multiplos entre ellos, basta con multiplicar por el escalar -1 a cualquiera de los dos para obtener el otro.

Estos vectores por tanto van a pertenecer al mismo espacio, en particular, generan un subespacio de R2 que sería: todos los vectores pertenecientes a R2 tal que la segunda coordenada sea igual a la primera, y = x. Para poder generar el espacio R2 (o en general Rn), se necesitan tomar n vectores que sean linealmente independientes entre ellos, que ninguno sea combinación lineal de los otros.

Es por ello que en el segundo ejemplo cuando toma (1, 0) y (2, -3), esto genera todo el espacio R2, pues son dos vectores que son linealmente independientes, es decir, no existe un escalar tal que multiplicando a uno me permita obtener al otro.

Francisco Garcia [C6]

student•

Gracias

Maria Guadalupe Diaz Escobar

student•

Gracias

rusbel bermúdez rivera

student•

Espacio euclidiano o Espacio vectorial es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así:
**R1 **= espacio unidimensional, línea recta real.
**R2 **= espacio bidimensional, pares ordenados.
**R3 **= espacio tridimensional, terna ordenadas.

-Hiperplano: una dimension menos el espacio donde estamos trabajando

**Si trabajamos en R3 un hiperplano es R2, si trabajamos en R2 un hiperplano es la recta. **

Rafael Rivera

student•

Gracias por el aporte

Leandro Tenjo

student•

Entendí más de este comentario que del profesor. Gracias.

Luis Angel José Portillo Arévalo

student•

Les recomiendo a todos los que quieran entender lo que habla el profe, vean los videos de Algebra Lineal de Khan Academy https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/vectors/v/real-coordinate-spaces?modal=1

Francisco Garcia [C6]

student•

Excelente, gracias

Diego Jurado

student•

Gracias por compartir. Definitivamente siento que debo seguir complementando para poder avanzar con estos temas!

Pedro Alejandro Rodríguez García

student•

Wow, voy en el minuto 6 y la verdad no entiendo casi nada de su explicación :(

Juan Alonso Alcala

student•

Si tienes preguntas ponlo en los comentarios y si no sabes que preguntar sugiero que tomes un libro de álgebra lineal y te leas los dos primeros capítulos . No es difícil una vez le encuentras el chiste . Suerte !!!

Alberto Perdomo

student•

Introducción al algebra líneal de Gilbert Strand, es un gran libro

Milton Fabián Ospina León

student•

Para colab...

%matplotlib inline

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits import mplot3d

v1 = np.array([1,0,0])
v2 = np.array([2,-3,0])

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

for a in range (-10,10):
  for b in range (-10,10):
    ax.scatter(v1[0]*a+ v2[0]*b,
               v1[1]*a+ v2[1]*b,
               v1[2]*a+ v2[2]*b,
               marker='.',
               color="orange")

Wilson Montenegro

student•

Muchas gracias, también funciona en Deepnote

Juan R. Vergara M.

student•

Gracias 👍🏅

Josue Noha Valdivia

student•

Vectores linealmente independientes: Un vector es linealmente dependiente de otros cuando este no se puede generar a través de una combinación lineal de los otros. El máximo número de vectores linealmente independientes entre sí es la dimensión de estos vectores. Generación de una recta, un plano o un espacio. La recta y el plano se pueden conoces cono espacios de 2 y 3 dimensiones respectivamente. Para definir un espacio de n dimensiones necesitamos n vectores linealmente independientes. Así para definir una recta necesitamos un vector, para un plano necesitamos dos y para un espacio (de tres dimensiones) necesitamos 3 vectores. Nota Un hiperplano es un espacio una dimensión menor al espacio en el que estamos trabajando (el hiperplano de una recta es un puntos, el hiperplano de un plano es una recta, etc)

María José Medina

student•

Espacio: donde está definido los vectores v1 y v2.
Subespacio: donde está definido la combinación lineal de v1 y v2.
Hiperplano: espacio de una dimensión menor de donde están definidos v1 y v2.

johan Stever Rodriguez Molina

student•

Ese cierre de la clase muy knockeador jaja. Lo siento muchachos por los que no lo lograron entender. Les recomiendo lean en otros sitios sobre la teoría de espacios y subespacios vectoriales.Recomiendo el libro de Bernard Kolman-Algebra Lineal.

Ariadna B

student•

Hermoso. Aunque el tema de subespacio vectoriales es más divertido y matemático. Aqui lo pusieron muy interactivo y la explicación superficial. Aunque también creo que lo quisieron hacer accesible a todas las personas, y dejaron de lado la formalidad. :/ Pero bueno. Es divertido verlo graficado

Daniel Correa

student•

A que se refiere el profesor cuando habla de r1 y r2?

Juan Diego Bonifacio Briceño

student•

Cuando habla de R gometricamente lo puedes interpretar como la recta real R <---------------------------------------------------------> Cuando habla de R^2=RxR geometricamente lo puedes interpretar como el plano cartesiano(RxR=R^2) , de igual manera R^3=RxRxR Espero haber despejado tu duda sino pon en google r2, r3,r4 y ahi encontraras un montón de información

Daniel Correa

student•

Muchas gracias, tu comentario me ayudo mucho a entender

Ramón de Jesús Ortega Gumán

student•

me dan ganas de retomar mis libros de algebra lineal

Kevin Morales

student•

Hazlo 💪 de todas formas irás recordando poco a poco durante el curso

Alfonso Andres Zapata Guzman

student•

Si quieren crear en **R3 ** algo tridimencional, con otro bucle for (aunque esto es super ineficiente) se logra:

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

v1 = np.array([1, 0, 0])
v2 = np.array([2, -3, 0])
v3 = np.array([1, 5, 6])

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

for a in range(-10,10):
    for b in range(-10,10):
        for c in range(-10,10):
            ax.scatter(v1[0]*a + v2[0]*b + v3[0]*c, v1[1]*a + v2[1]*b + v3[1]*c,
                       v1[2]*a + v2[2]*b + v3[2]*c,
                       marker = '.',
                       color = "orange")
        
ax.set_xlabel('Eje X')
ax.set_ylabel('Eje Y')
ax.set_zlabel('Eje Z')

plt.show()

LUIS ANTONIO CALVO QUISPE

student•

Muchas gracias, por tu aporte ..!

Alfonso Andres Zapata Guzman

student•

4Por cierto, ya conectamos en LinkedIn?5

Conectemos en LinkedIn 👈 o tambien en GitHub 👈

Ampliemos juntos nuestra red de contactos, sigueme y te sigo!

Guillermo Sangabriel Cuéllar

student•

Siempre que quieran generar todo un espacio, pueden estar seguro que con los vectores canonicos lo logran, para que no lanzen vectores al azar :)

Carolina Acosta Muñoz

student•

Gracias, Guillermo! No recordaba qué eran vectores canónicos. Por si alguien queda con la duda, acá están:

alexander garcia castañeda

student•

en qué momento se usó el axes3d? en ninguna parte vi que lo invocaran

Sebastian Sosa

teacher•

Tienes razón, en ningún momento se invoca explicitamente el Axes3D, pero se lo está utilizando para la proyección 3D

Como referencia dejo el link a la galeria de Matplotlib con un grafico de dispersion en 3D donde se invoca el Axes3D para registrar la proyección a utilizar.

https://matplotlib.org/3.1.1/gallery/mplot3d/scatter3d.html

Daiana Davidson

student•

Para quienes están teniendo dificultades para seguir el curso, pueden imaginar que los datos con los que trabajamos son como puntos en un espacio. Estos datos no existen de manera aislada, sino que se organizan en estructuras matemáticas como vectores, matrices y escalares.

En el mundo de la computación y el análisis de datos, todo debe ser representado numéricamente para que los modelos puedan procesarlo de manera eficiente. Por ejemplo, una palabra como "Platzi" puede ser convertida en un número para ser utilizada dentro de un modelo.

En esta parte del curso, nos enfocamos en cómo graficar e interpretar datos usando álgebra lineal. A través de combinaciones de vectores, podemos generar imágenes matemáticas que representan la totalidad de los datos. Luego, al aislar subconjuntos de esos datos, podemos visualizar su comportamiento en forma de gráficos.

En este momento, estamos aprendiendo cómo definir el espacio donde los datos se mueven y se organizan. Este paso es fundamental porque, más adelante, estos espacios nos permitirán hacer predicciones y modelar el comportamiento de los datos de manera efectiva.

William Wilfredo Moran Torres

student•

por cierto que significa ese % %matplotlib %run Es algo especial en python?

John Cardenas

student•

Hola!

Es el operador módulo. Su función es devolver el sobrante de la división entre dos operadores. No está relacionado con porcentajes.

Te dejo un enlace donde podrás conocer los diferentes operadores de pyhton

Luis Lira

student•

Se les llama "funciones mágicas", son de iPython, puedes leer la explicación aquí

Jose Potes

student•

Nada complejo, creo que el profesor usa mucho tecnicismo en sus explicaciones. pero, https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/vectors/v/real-coordinate-spaces?modal=1 (Perdon platzi pero al cesar lo que es del cesar). lo que entendí es:

Un espacio es un como si fuera la poblacion(en estadistica), es decir, es la generalizacion donde pueden habitar o encontrarse los vectores.
Subespacio es como la muestra(en estadistica), es decir, es la especificacion donde podemos ubicar un o unos vectores especificamente.
cuando el profesor habla de R1,R2,R3. se refiere a las posibles combinaciones que podemos encontrar en el espacio de vectores ya sea en 1 dimension([1]) o en 2 dimensiones[1,2] o en 3 dimensiones[1,2,3]. esto tambien es imporante:

En álgebra lineal, un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen ciertas propiedades específicas. Un espacio vectorial debe satisfacer las siguientes condiciones:

Cerrado bajo la adición: La suma de dos vectores en el espacio vectorial también debe estar en el mismo espacio vectorial.

Cerrado bajo la multiplicación por un escalar: Si multiplicamos un vector por un escalar, el resultado también debe estar en el mismo espacio vectorial.

Existencia de un vector cero: El espacio vectorial debe contener un vector especial llamado vector cero, que no cambie otros vectores cuando se suma a ellos.

Inverso aditivo: Cada vector en el espacio debe tener un vector opuesto que, al sumarse, dé como resultado el vector cero.

Angel Ojeda

student•

Esta clase me voló la cabeza.

Camilo Gutierrez

student•

Para los que están perdidos espero que esto sea de ayuda:

Un vector es un conjunto de números, por ejemplo (x1, x2). Esos números pueden ser cualquier valor de los números Reales (por eso R).

R1 (o R) es un numero cualquiera de los reales (x). R2 son dos números (x1,x2). R3 son tres números (x1,x2,x3).

Estos valores pueden ser multiplicados por un numero externo o ser sumados con otro vector. Esto se llama combinación lineal.

Un plano vectorial son todos los números (puntos en el plano) que salen de combinar linealmente los elementos de los vectores.

Un espacio vectorial es lo mismo, pero con tres números en vez de dos. (X1, X2, X3).

Por lo tanto, un plano o espacio vectorial son todos los números que pueden resultar de la combinación lineal de los elementos de los vectores.

Un saludo!

Thomas Gonzalez Rodrigues

student•

para visualizar un poco mejor lo que se esta haciendo en la clase y el porque del primer ejemplo les dejo estas funciones

y aquí el código comparar representation vectorial y combinación lineal

def analyse_combination(v1,v2,lim1,lim2):
    fig, ax = plt.subplots()


    for a in range(-10,10):
        for b in range(-10,10):
            v1v2 = v1*a + v2*b
            ax.scatter(v1v2[0],v1v2[1], marker='.')
    plt.xlim(lim1*-1,lim1)
    plt.ylim(lim1*-1,lim1)
    plt.axvline(x=0, color='grey')
    plt.axhline(y=0, color='grey')


    plot_vectors([v1,v2],["orange", "blue"])
    plt.xlim(lim2*-1,lim2)
    plt.ylim(lim2*-1,lim2)
    
    plt.axvline(x=0, color='grey')
    plt.axhline(y=0, color='grey')

    plt.show()

generar el grafico de los vectores

def plot_vectors(vectors, colors, alpha = 1): #alplah = trasparence of each vector
    fig, ax = plt.subplots()

    ax.axvline(x=0, color="grey")
    ax.axhline (y=0, color="grey")

    for i in range(len(vectors)):
        x = np.concatenate([[0,0], vectors[i]]) #set origin point #add 0,0 as the vector were a tenson
        ax.quiver(
            [x[0]],
            [x[1]],
            [x[2]],
            [x[3]],
            angles ='xy' , scale_units= 'xy', scale = 1,
            color = colors[i],
            alpha = alpha
        )
    
    return  ax

Combinaciones Lineales y Espacios Vectoriales en R2 y R3

¿Cómo podemos generar espacios en sí mismos a partir de vectores?

¿Cómo graficar el espacio generado por vectores?

¿Qué ocurre al modificar los vectores iniciales?

¿Cómo se relacionan los subespacios en espacios de mayor dimensión?

​¿Cómo aplicar el conocimiento adquirido?

¿Cómo aplicar el conocimiento adquirido?