Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden

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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden

Curso de Ecuaciones Diferenciales

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¿Cómo identificar una ecuación diferencial homogénea de segundo orden?

Al tratar con ecuaciones diferenciales, es crucial identificar el tipo de ecuación con la que estamos trabajando. Una ecuación diferencial de segundo orden se reconoce por la presencia de la segunda derivada de la función desconocida, en este caso simbolizada como ( y'' ). En una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, estos coeficientes no dependen de la variable ( x ), y la ecuación es igual a cero. El enfoque principal de esta clase es aprender a resolver estas ecuaciones para avanzar en el estudio de las ecuaciones diferenciales más complejas.

¿Cuál es la ecuación característica y cómo se deriva?

Resolver una ecuación diferencial de segundo orden homogénea implica encontrar su solución general y para ello, se emplea la ecuación característica. Esta se deduce suponiendo una solución de la forma ( y = e^{rx} ), donde ( r ) es el valor que buscamos.

Para derivar la ecuación característica:

Hallamos la primera y segunda derivada de nuestra solución asumida:
- La primera derivada: ( y' = re^{rx} )
- La segunda derivada: ( y'' = r^2 e^{rx} )
Sustituimos estas derivadas en la ecuación diferencial original:
- ( r^2 e^{rx} + 2r e^{rx} - e^{rx} = 0 )
Factorizamos el término común ( e^{rx} ):
- ( e^{rx} (r^2 + 2r - 1) = 0 )
Como ( e^{rx} ) nunca es cero, la ecuación característica es:
- ( r^2 + 2r - 1 = 0 )

¿Cómo resolver la ecuación cuadrática para encontrar ( r )?

La ecuación característica derivada es una ecuación cuadrática estándar que podemos resolver utilizando la fórmula cuadrática:

[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

En nuestro caso, con:

( a = 1 ),
( b = 2 ),
( c = -1 ),

La aplicación de la fórmula nos lleva a:

[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} ]

Se simplifica a:

[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} ]

Así, las soluciones para ( r ) son ( r_1 = -1 + \sqrt{2} ) y ( r_2 = -1 - \sqrt{2} ).

¿Qué son las soluciones linealmente independientes y la solución general?

Para una ecuación diferencial de segundo orden, como esta, se obtienen dos soluciones linealmente independientes. Con nuestros valores de ( r ):

Solución 1: ( y_1 = e^{(-1 + \sqrt{2})x} )
Solución 2: ( y_2 = e^{(-1 - \sqrt{2})x} )

La solución general es una combinación lineal de estas dos soluciones:

[ y = c_1 e^{(-1 + \sqrt{2})x} + c_2 e^{(-1 - \sqrt{2})x} ]

Donde ( c_1 ) y ( c_2 ) son constantes arbitrarias, que se determinarán con condiciones iniciales específicas para problemas particulares. Esta solución general aplica a todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes y proporciona la base para métodos más complejos en el estudio de ecuaciones diferenciales.

Comentarios (9)9 comentarios

Ronaldo Carbajal Tapahuasco

Hace 7 años

Tambien puedo agregar que una forma de resolver la ecuacion r^2 +2r -1 puede ser el método para completar cuadrados, pues tendríamos (r+1)^2 - 2 y despues tan solo nos quedaría factorizar tal diferencia de cuadrados y despues igual cada factor a cero. Espero les ayude :D!!

jhon velasque

Hace 5 años

ES LO BELLO DE LAS MATES SEPUEDE RESOLVER DE VARIAS MANERAS

Josue Gonzalez

Hace 4 años

Interesante metodo!

Alejandro Betancur

Hace 8 años

En este curso no veremos como solucionar el Wroskiano?

Sergio Orduz

Profesor

Hola @elviejomenu la respuesta es sí. En unas clases más adelantes haremos un ejemplo con el wroskiano 😄

Miguel Angel Velazquez Romero

Hace 6 años

La solución general es una combinación lineal de las dos soluciones linealmente independientes.

Edudardo Lara

En el minuto 8:45 la solución está mal porque x multiplica también a -1 pero el profesor escribió que solo multiplica a raíz de 2, la verdadera solución es e^{(-1 +- \sqrt{2})x}

Ernesto Perez

Tienes razón , debió utilizar un paréntesis para indicar que la variable x se está multiplicando por la expresión.

Jonathan Mendoza

Hace un año

Si, tal vez se olvidó esa parte

Carlos Eduardo Magallon Zepeda

No me peguen por favor.

Luis Perugachi

Genial

Antonio Ramón Molina Simancas

Hace 4 meses

Vamooooo... 2026

y'' + 2y' - y = 0

y = e^(rx); y' = r * e^(rx) ; y'' = r^2 * e^(rx)

reemplazando en la ED queda.

r^2 * e^(rx) + 2r * e^(rx) - e^(rx) = 0

Sacando factor común:

e^(rx) [ r^2 + 2r -1 ] = 0

Completando cuadrado:

r^2 + 2r + 1 - 1 - 1 = 0

(r + 1)^2 - 2 = 0

(r + 1)^2 - [sqrt(2)]^2 = 0

(r + 1 + sqrt(2)) (r + 1 - sqrt(2)) = 0

r1 = -1 - sqrt(2) ; r2 = -1 + sqrt(2)

y1 = C1 * e^((-1 - sqrt(2)) x) ; y2 = C2 * e^((-1 + sqrt(2)) x)

yg = C1 * e^((-1 - sqrt(2)) x) + C2 * e^((-1 + sqrt(2)) x)

yg = y1 + y2

Great!

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