Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales: Orden y Linealidad

Clase 4 de 50 • Curso de Ecuaciones Diferenciales

Resumen

Ya vimos que hay diferentes tipos de ecuaciones diferenciales dependiendo de su número de variables independientes. También podemos clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su orden y linealidad que tengan.

El orden de una ecuación diferencial se refiere a la máxima derivada que aparezca en una la ecuación.

La linealidad se basa en la variable dependiente de una ecuación diferencial, si dicha variable no tiene ningún exponente significa que la ecuación es lineal, mientras que si tiene algún cambio exponencial entonces es una ecuación no lineal.

¿Qué significa solucionar una ecuación diferencial?

Mientras que en las ecuaciones normales su solución era encontrar un número que cumpliera la igualdad de la ecuación; en las ecuaciones diferenciales se va a buscar una función o conjunto de función que cumpla la igualdad.

En ciertos problemas nos vamos a encontrar que una ecuación diferencial tiene alguna condición donde la función se le denota un valor, este valor es el valor inicial de una ecuación y nos servirá para encontrar soluciones específicas.

Christian Molina Vázquez

student•

Como curiosidad, en python también se pueden resolver estos tipos de sistemas usando la librería sympy Comparto el código para resolver el ultimo ejemplo del profesor.

import sympy as sp 
x, y, z = sp.symbols('x y z')
sp.init_printing(use_latex='mathjax')

f = sp.Function('f')
Eq = sp.Eq(sp.Derivative(f(x), x) -6*(x**2),0)
sp.dsolve(Eq,ics={f(0):2})

f(x)=2x^3 + 2

Luis Fernando Úbeda Camacho

student•

Apuntes de clase

Tipos de ecuaciones diferenciales
Para saber el tipo de ecuación, dependerá de dos factores, el orden y la linealidad:

Orden:
Se refiere a la máxima derivada que aparece en la ecuación
Linealidad:
Nos basaremos en la variable dependiente, si la variable dependiente nos esta modificada y no tiene exponentes, la ecuación será lineal.

Que significa solucionar una ecuación diferencial

Cuando tenemos una ecuación normal, solucionarla significaba encontrar ese número que satisfacía la igualdad de la ecuación:
y +5 = 2 -> y = -3.
Cuando hablamos de ecuaciones diferenciales, no vamos a buscar un número, vamos a buscar una función. Un conjunto de funciones que me satisfagan esa igualdad.

Tipos de soluciones

Solución general:
Se produce cuando tenemos varias soluciones para una misma ecuación, donde la constante © puede tener cualquier valor, que no afectara a la solución de la ecuación.
Solución especifica:
Cuando nos dan una condición inicial, ya no valdrá cualquier valor de la constante como posible solución, si no ese valor en especifico es el que le dará la solución a la ecuación.

J. Christian Martínez G.

student•

Excelente aporte!

Arturo Barrios

student•

Excelente aporte

Martín Valverde

student•

Esta clase huele a integrales jajaja

Ian Yael Pedraza Celon

student•

Aprendí más en estás dos últimas clases que en todo un semestre con está materia.

Luis Perugachi

student•

se se se

Daniel Pérez Martínez

student•

Me gustaría compartir hasta aquí lo siguiente(para los que se les dificulta):

Lo primero que deben buscar en youtube o en internet, es el "Teorema de la función implícita Ya que nos indicará la exitencia y la demostración de la existencia de la variable dependiente e independiente.

Brevemente **función explicita **: es la que ya tiene despejada a la Y y es facil saber que es dependiente de X

función implicita: No es fácil identificar a la dependiente, y por su complejidad, en vez de despejar, es más fácil analizar la función por su derivada.

Entonces la solución general será la forma que encontremos para relacionar la derivada con la función en bruto, donde siempre apliquen los casos.

Josue Noha Valdivia

student•

Tipos de ecuaciones diferenciales

Por Orden: Se refiere al máximo orden que se presenta en la expresión
Por Linealidad: Una ecuación diferencial será lineal si la variable dependiente es lineal (no tiene exponentes o funciones del tipo trigonométrico o exponencial)

Nota:

Solución general: Se trata de la solución que abarca todas las soluciones posibles, hay más de una por la pérdida de información que tenemos al derivar.
Solución especifica: Podemos llegar a una única solución cuando nos proporcionan las condiciones iniciales (deducimos la información perdida).

Julio Cardenas

student•

mi resumen:

Cristian Gómez

student•

Excelentes explicaciones

Michelle Alesandra Juárez Lossi

student•

La manera de explicar es bastnte específica y concreta porque me ayudo a entender mejor lo de los valores iniciales, que desde un comienso en la clase de la universidad no había entendido. También me ayudo a comprender mejor a diferenciar entre lineal y no lineal.

Diego Gutiérrez

student•

Si yo no tengo condiciones iniciales tendré una solución general, pero cuando las tenga lograré encontrar soluciones específicas

Santiago Ahumada Lozano

student•

Si tengo dy/dx la dependiente es y y la independiente es x? Y si tengo x+y=0 ambas son dependientes o depende la que despeje sera la dependiente?

Cristian Daniel Borda Bastidas

student•

Hola Santiago, en este caso X + Y = 0, Y seguiría siendo la variable dependiente y X seguiría siendo la variable independiente, es así que X = Y

Martin Calvento

student•

En realidad no existe una variable dependiente o independiente es una convencion. cuando tengo algo de la forma x + y = 5, aquella que despeje sera la variable dependiente, si despejo x esta sera la variable dependiente x = 5-y ya que por convencion doy valores a la que esta en el termino de la derecha y obtengo el de la izquierda

Daniela FRANCISCONI

student•

numeros primos

Yessica Santiago Valdés

student•

Si tengo dy/dx+cosy^2 +y = 0 , ¿La función es lineal o no lineal?

Cesar Alberto Ochoa Avila

student•

no lineal, por que la variable dependiente se encuentra afectada por la trigonometrica coseno

Yessica Santiago Valdés

student•

Gracias!

Henry Otoniel Yalibat Pacay

student•

en el minuto 5:30 dice que va resolver con propiedades de las derivadas, pero lo que hace es integrar, no derivar considero que se debe de aclarar eso para evitar confusiones

Diego Cardone

student•

En la notación de la derivada segunda estaría faltando un 2 de super índice en el denominador dx. Estimo que es un error tipográfico que se viene arrastrando. y''(x)= d^2y/dx^2 🙂

Jhon Alexander Romero Gonzaga

student•

Aprendi dos témas de clases en un solo video

Sergio Velasquez

student•

el valor inicial de una ecuación diferencial

Victor Manuel Porras Vasquez

student•

¿Si tenemos la derivada de mayor grado afectada por una función trigonométrica, o elevada a alguna potencia, seguirá siendo el indicador para el grado de la ecuación? Ej. y' = 2y'' + x(y''')^2

PD: El ejemplo que estoy dejando es "relativo", fuera si existe o no esa ED.

Eber Angel Quispe Paco

student•

y=2x^3+-C, no sería esa la solución?

Carlos Antonio Cruz López

student•

La definición de linealidad es incorrecta, pues no solo debe analizarse el exponente de la variable dependiente, sino los coeficientes que la acompañanan.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencia es no lineal, pese a que cumple las supuestas condiciones dadas en la clase sobre que sea lineal.

Deben corregir dicha definición.